Ableitungsregeln
Für eine allgemeine Potenzfunktion $f(x) = x^n$ wird der Differenzenquotient geschrieben:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{ (x+h)^n - x^n}{h}
\end{align}
Für das Binom $(x + h)^n$ gilt:
\begin{align}
(x + h)^n &= 1 \cdot x^n \cdot h^0 + n \cdot x^{n-1} \cdot h^1 + \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2 + \ldots + 1 \cdot x^0 \cdot h^n \\
&= x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot h + \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2 + \ldots + h^n
\end{align}
(zur Info: Das Pascalsche Dreieck)
Für den Differenzenquotienten folgt:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{ x^n + n \cdot x^{n-1} \cdot h + \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2 + \ldots + h^n - x^n}{h}
\end{align}
Man kann nun alle einzelnen Summanden durch h teilen und den Bruch des Differenzenquotienten in viele Einzelbrüche umschreiben:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{x^n}{h} + \frac{n \cdot x^{n-1} \cdot h}{h} + \frac{\binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2}{h} + \ldots + \frac{h^n}{h} - \frac{x^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{n \cdot x^{n-1} \cdot h}{h} + \frac{\binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h^2}{h} + \ldots + \frac{h^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} n \cdot x^{n-1} + \binom{n}{2} \cdot x^{n-2} \cdot h + \ldots + h^{n-1}
\end{align}
Der Grenzübergang $h \rightarrow 0$ darf nun gemacht werden. In allen Summanden außer dem ersten kommt mindestens ein $h$ vor. Diese
Summanden werden für $h = 0$ also $0$. Es verbleibt als Ableitung:
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
Damit erhält man die
Potenzregel für Ableitungen:
$$
f(x) = x^n \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
Für eine Funktion, die einen Faktor vor einer Potenz hat, $f(x) = a \cdot x^n$, folgt:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{a \cdot (x + h)^n - a \cdot x^n}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{a \cdot \left((x + h)^n - x^n \right)}{h} \\
&= \lim_{h \to 0} a \cdot n \cdot x^{n-1}
\end{align}
Es folgt die
Faktorregel:
$$
f(x) = a \cdot x^n \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = a \cdot n \cdot x^{n-1}
$$
Die
Konstantenregel ergibt sich aus der Faktorregel für $n = 0$:
$$
f(x) = a \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = 0
$$
Strukturelle Ableitungsregeln sind die Summenregel, die Produkt-, Quotienten- und Kettenregel.
Eine Funktion liegt in der folgenden Form vor:
$$
f(x) = u(x) + v(x)
$$
Dann ergibt sich für die Ableitung:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) + v(x + h) - u(x) - v(x)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) - u(x)}{h} + \frac{v(x + h) - v(x)}{h} \\ \\
&= u'(x) + v'(x)
\end{align}
Für Funktionen in der Form
$$
f(x) = u(x) \cdot v(x)
$$
ergibt sich folgendes:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) \cdot v(x + h) - u(x) \cdot v(x)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) \cdot v(x + h) - u(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v(x + h) - u(x) \cdot v(x + h)}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) - u(x)}{h} \cdot v(x + h) + u(x) \cdot \frac{v(x + h) - v(x)}{h}
\end{align}
Wird der Grenzübergang nun gemacht, entstehen aus den beiden Brüchen $u'(x)$ bzw. $v'(x)$, aus dem Term $v(x+h)$ wird $v(x)$. Es
ergibt sich:
$$
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
Funktionen der Form
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}
$$
leitet man folgendermaßen ab:
\begin{align}
f'(x) &= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x + h)}{v(x + h)} - \frac{u(x)}{v(x)}}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x + h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x + h)}{v(x + h)v(x)}}{h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x + h)}{v(x + h)v(x)h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{u(x + h) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x + h) + u(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v(x)}{v(x + h)v(x)h} \\ \\
&= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{u(x + h) - u(x)}{h} \cdot v(x) - u(x) \cdot \frac{v(x + h) - v(x)}{h}}{v(x + h)v(x)} \\ \\
\end{align}
Analog zum Vorgehen bei der Produktregel ergibt sich als Ableitung:
$$
f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}
$$
Verkettete Funktionen und die Herleitung der Kettenregel gibt es
hier.
Summenregel:
$$
f(x) = u(x) + v(x) \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = u'(x) + v'(x)
$$
Produktregel:
$$
f(x) = u(x) \cdot v(x) \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
Quotientenregel:
$$
f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = \frac{u'(x) \cdot v(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}
$$
Kettenregel:
$$
f(x) = u(v(x)) \qquad \rightarrow \qquad f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)
$$
