Eine Kugel $(m = 2 \, \text{kg})$ wird auf eine Feder gelegt, die daraufhin um 2 cm zusammengedrückt wird. Anschließend wird die Feder
um weitere 5 cm zusammengedrückt und arretiert.
a) Geben Sie die Federkonstante $D$ an.
b) Bestimmen Sie die nach der Arretierung in der Feder gespeicherte Energie.
Die Arretierung wird gelöst und die Kugel wird nach oben beschleunigt.
c) In welcher Höhe hat die Kugel die größte Geschwindigkeit?
d) Welche Geschwindigkeit hat die Kugel, wenn sie gerade die Feder verlässt?
e) Berechnen Sie die maximale Höhe, die die Kugel erreicht.
a)
Für die Federkonstante gilt, dass eine bestimmte Kraft, z.B. die Gewichtskraft einer Kugel, eine Feder um einen bestimmten Weg zusammendrückt.
Hier:
\begin{align}
D &= \frac{F_G}{s} \\
D &= \frac{mg}{s} \\
D &= \frac{2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{0,02 \, \text{m}} \\
D &= 981 \, \frac{\text{N}}{\text{m}}
\end{align}
b)
Zur Beachtung: Der jetzt maßgebliche Weg ist der gesamte Weg, um den die Feder zusammengedrückt wurde, also $s = 0,07 \, \text{m}$.
Für die elastische Energie gilt:
\begin{align}
E_{el} &= \frac{1}{2}Ds^2 \\
E_{el} &= \frac{1}{2} \cdot 981 \, \frac{\text{N}}{\text{m}} \cdot \left( 0,07 \, \text{m} \right)^2 \\
E_{el} &= 2,40 \, \text{J}
\end{align}
c)
Die größte Geschwindigkeit ist dort, wo die Federkraft, die die Kugel nach oben drückt, und die Gewichtskraft, die die Kugel nach unten
zieht, gerade gleich groß sind. Anders ausgedrückt: Im Kräftegleichgewicht ist die Geschwindigkeit konstant, d.h. entweder maximal oder
minimal. Für die Bestimmung der Höhe:
\begin{align}
F_{Feder} &= F_G \\
D \cdot s &= m \cdot g \\
s &= \frac{m \cdot g}{D} \\
s &= \frac{2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}{981 \, \frac{\text{N}}{\text{m}}} \\
s &= 0,02 \, \text{m}
\end{align}
Das war zu erwarten, bedeutet doch, das mit der Belastung der Feder durch eine Gewichtskraft (Teil a)) das System im Gleichgewicht ist.
Gleichgewicht heißt, dass keine resultierende Kraft wirkt, damit auch keine Beschleunigung $(F = ma)$ und keine Veränderung der Geschwindigkeit,
die dann nur maximal oder minimal sein kann.
d)
In dieser Situation sind folgende Energien vorhanden:
1. Für die elastische Energie gilt, dass sie gleich Null ist, wenn die Kugel die Feder
gerade verlässt, also $E_{el} = 0$.
2. die kinetische Energie muss bestimmt werden.
3. Für die potentielle Energie gilt: $E_{pot} = mgh$, wobei die Höhe gerade die Strecke ist, um die sich die Kugel bisher nach oben bewegt
hat, also $h = 0,07 \, \text{m}$.
4. Die Gesamtenergie ist $E_{Ges} = 2,4 \, \text{J}$. da diese in der maximal gespannten Feder gespeichert war.
Man erhält also die folgende Rechnung:
\begin{align}
E_{Ges} &= E_{el} + E_{kin} + E_{pot} \\
E_{kin} &= E_{Ges} - E_{el} - E_{pot} \\
\frac{1}{2} \cdot 2 \, \text{kg} \cdot v^2 &= 2,40 \, \text{J} - 0 \, \text{J} - 2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,07 \, \text{m} \\
v &= \sqrt{\frac{2 \cdot \left(2,40 \, \text{J} - 2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 0,07 \, \text{m} \right)}{2 \, \text{kg}}} \\
v &= 1,01 \, \frac{\text{m}}{\text{s}}
\end{align}
e)
Für die maximale Höhe gilt, dass auch die kinetische Energie gleich Null ist. Die gesamte Energie ist also in der potentiellen Energie gespeichert.
\begin{align}
E_{Ges} &= E_{pot} \\
2,4 \, \text{J} &= 2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot h \\
h &= \frac{2,4 \, \text{J}}{2 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\
h &= 0,12 \, \text{m}
\end{align}
Die Kugel befindet sich also maximal 12 cm über dem tiefsten Punkt (auf der zusammengedrückten Feder) oder 5 cm über der entspannten Feder.
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