Lösung zu Aufgabe 8 (Arbeit und Energie)


Ein Auto (Masse $m = 900 \, \text{kg}$) nähert sich mit konstanter Geschwindigkeit von 90 km/h einer Steigung, als der Motor ausfällt.
a) Wie lang darf der Anstieg (Steigungswinkel 8°) höchstens sein, damit das Auto das obere Ende der Steigung gerade noch erreichen kann?
b) Welche Geschwindigkeit hat das Auto, wenn es die ersten 200 m der Steigung zurückgelegt hat?


a)
Das Auto hat eine kinetische Energie von $$ E_{kin} = \frac{1}{2} \cdot 900 \, \text{kg} \cdot \left( \frac{90}{3,6} \, \frac{\text{m}}{\text{s}} \right)^2 = 281250 \, \text{J} $$ Mit dieser Energie kann es eine Höhe von $$ h = \frac{E}{mg} = \frac{281250 \, \text{J}}{900 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 31,86 \, \text{m} $$ erreichen.
Mit dem Steigungswinkel von 8° folgt für die Länge des Weges: \begin{align} \sin \alpha &= \frac{h}{s} \\ s &= \frac{h}{\sin \alpha} \\ s &= \frac{31,86 \, \text{m}}{\sin 8°} \\ s &= 228,92 \, \text{m} \end{align} Die Strecke darf also höchstens 229 m lang sein.


b)
Nach 200 m auf der Steigung hat das Auto eine Höhe von $$ h = s \cdot \sin \alpha = 200 \, \text{m} \cdot \sin 8° = 27,83 \, \text{m} $$ erreicht.
Damit ist ein Teil der gesamten Energie in potentielle Energie umgewandelt: $$ E_{pot} = 900 \, \text{kg} \cdot 9,81 \, \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 27,83 \, \text{m} = 245711,07 \, \text{J} $$ Die kinetische Energie beträgt in dieser Situation nur noch $E_{kin} = 281250 - 245711,07 \, \text{J} = 35538,93 \, \text{J}$. Damit lässt sich die Geschwindigkeit ausrechnen: $$ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 35538,93 \, \text{J}}{900 \, \text{kg}}} = 8,89 \, \frac{\text{m}}{\text{s}} $$ Das entspricht einer Geschwindigkeit von $v = 32 \, \frac{\text{km}}{\text{h}}$.

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