Wachstum mit Differentialgleichungen

Im Prinzip kann jede Funktion ion gewisser Weise als Wachstumsfunktion dienen. Es gibt jedoch einige Funktionen, die in den allermeisten Fällen das Wachstumsverhalten beschreiben können. Dazu zählen z.B. die Exponentialfunktionen, die natürlich das exponentielle Wachstum beschreiben können, aber auch für Wachstumsprozesse gebraucht werden, bei denen ein Bestand gegen eine festgelegte Grenze wachsen, aber eben nicht darüber hinaus. Die Verbindung dieser beiden Wachtumsarten beschreibt nahezu alle natürlich vorkommenden Wachstumsprozesse und wird als logistisches Wachstum bezeichnet.
Um nun Wachstumsprozesse beschreiben zu können, kann man unterschiedlich vorgehen. In diesem Kapitel wird das Wachstum mit Hilfe ihres Änderungsverhaltens beschrieben.

Exponentielles Wachstum

Das Wachstumsverhalten ist so, dass zum jeweiligen Bestand immer ein konstanter Prozentwert des Bestands hinzukommt. In der folgenden Tabelle wird der Bestand eines Bankkontos dargestellt:

Jahr der Anlage	0	1	2	3	4	5
Bestand in €	100,00	101,00	102,01	103,03	104,06	105,10

Markenzeichen exponentiellen Wachstums ist die Konstanz der Quotienten aufeinander folgender Werte. Hier gilt z.B., das der Wert nach 4 Jahren geteilt durch den Wert nach drei Jahren 1,01 ergibt. Analog für alle anderen Wertepaare: \begin{align} \frac{101,00}{100,00} &= 1,01 \\ \frac{102,01}{101,00} &= 1,01 \\ \frac{103,03}{102,01} &= 1,01 \\ \frac{104,06}{103,03} &= 1,01 \\ \frac{105,10}{104,06} &= 1,01 \end{align} Der Bestand jeden Jahres ist somit das 1,01-fache des letztjährigen Bestands.
Betrachtet man nur die Veränderung, also $B(t+1) - B(t)$, dann folgt, dass der Bestand jedes Jahr mit dem Faktor 0,01 multipliziert wird. Mit dem Bestand $B(t)$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ und dem konstanten Quotienten $q$ ergibt sich: \begin{align} \frac{B(t+1)}{B(t)} &= q \\ B(t+1) &= q \cdot B(t) \\ \\ B(t+1) - B(t) &= \left( q \cdot B(t) \right) - B(t) \\ \Delta B(t) &= \left( q - 1 \right) \cdot B(t) \end{align} Für exponentielles Wachstum kann man also schreiben: $$ f'(x) = k \cdot f(x) $$ wobei $k$ hier ein beliebiger Faktor und $f(x)$ eine Wachstumsfunktion ist, die noch ermittelt werden muss. Diese Differentialgleichung lautet ausformuliert:

Die Änderung des Bestands ist proportional zum Bestand selbst.

Die Funktion, die die Differentialgleichung löst, wird folgendermaßen ermittelt: \begin{align} f'(x) &= k \cdot f(x) \\\\ \frac{dy}{dx} &= k \cdot y \\ \frac{dy}{y} &= k \cdot dx \\ \int{\frac{dy}{y}} &= \int{k dx} \\ \ln y + C_1 &= k x + C_2 \\ \ln y &= k x + C_3 \\ y &= e^{kx + C_3} \\ y &= e^{kx} \cdot e^{C_3} \\ y &= c \cdot e^{kx} \\\\ f(x) &= c \cdot e^{kx} \end{align}