Lösung zu Aufgabe 7 (Elektrische Felder)


In einer Vakuumröhre befinden sich zwei parallele und ebene Metallplatten mit dem Flächeninhalt $A = 10 \text{ cm}^2$ in einem Abstand von $d = 2 \text{ cm}$ voneinander. An den Platten liegt eine Spannung von $U = 300 \text{ V}$ an.
a) Bestimmen Sie die Feldstärke des Feldes zwischen den Platten.
b) Berechnen Sie die Kraft, die auf ein zwischen den Platten befindliches Elektron wirkt.
c) Geben Sie den Energiebetrag an, den ein Elektron gewinnt, wenn es sich von der negativen zur positiven Platte bewegt.
d) Leiten Sie eine Gleichung für die Auftreffgeschwindigkeit des Elektrons auf die positive Platte her und berechnen Sie damit die Geschwindigkeit des Elektrons. Führen Sie eine Einheitenkontrolle durch.
e) Berechnen Sie den Energieinhalt des elektrischen Feldes zwischen den Platten.
f) Beschreiben Sie stichwortartig ein Vorgehen, um die Ladungsmenge auf den Kondensatorplatten zu berechnen.


Es handelt sich um eine Plattenkondensatoranordnung. Daher gilt für die elektrische Feldstärke: \begin{align} E &= \frac{U}{d} \\ E &= \frac{300 \text{ V}}{2 \text{ cm}} \\ E &= \frac{300 \text{ V}}{2 \cdot 10^{-2} \text{ m}} \\ E &= 1,5 \cdot 10^4 \frac{\text{ V}}{\text{ m}} \end{align} Für die Kraft auf ein Elektron gilt: \begin{align} F &= E \cdot q \\ F &= 1,5 \cdot 10^4 \frac{\text{ V}}{\text{ m}} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \\ F &= 1,5 \cdot 10^4 \frac{\text{ N}}{\text{ C}} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \\ F &= 2,4 \cdot 10^{-15} \text{ N} \end{align} Für die umgesetzte Energie gilt: \begin{align} W &= F \cdot d \\ W &= 2,4 \cdot 10^{-15} \text{ N} \cdot 2 \cdot 10^{-2} \text{ m} \\ W &= 4,8 \cdot 10^{-17} \text{ J} \end{align} Alternativ gilt für die Energie eines geladenen Teilchens auch: \begin{align} W &= U \cdot q \\ W &= 300 \text{ V} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \\ W &= 4,8 \cdot 10^{-17} \text{ J} \end{align} Die gesamte Bewegungsenergie des Elektrons stammt aus der Energie des elektrischen Feldes. Das heißt, das die kinetische Energie, die das Elektron besitzt, wenn es auf die positive Platte auftrifft, der umgesetzten Energie aus der Voraufgabe entsprechen muss. Daher: \begin{align} E_{kin} &= W \\ \frac12 \cdot m \cdot v^2 &= U \cdot q \\ \frac12 \cdot m_e \cdot v^2 &= U \cdot e \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot U \cdot e}{m_e}} \\ \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot 300 \text{ V} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} \\ v &= 1,03 \cdot 10^7 \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{align} Für die Einheiten: \begin{align} [v] &= \sqrt{\frac{\text{V} \cdot \text{C}}{\text{kg}}} \\ [v] &= \sqrt{\frac{\text{J}}{\text{kg}}} \\ [v] &= \sqrt{\frac{\text{N} \cdot \text{m}}{\text{kg}}} \\ [v] &= \sqrt{\frac{\text{kg} \cdot \text{m} \cdot \text{m}}{\text{kg} \cdot \text{s}^2}} \\ [v] &= \sqrt{\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}} \\ [v] &= \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align}


Die gesamte im elektrischen Feld gespeicherte Energie lässt sich mit $W_G = \frac12 \cdot C \cdot U^2$ bestimmen. Dabei ist $C = \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d}$ die Kapazität des Kondensators. Es folgt: \begin{align} W_G &= \frac12 \cdot \epsilon_0 \cdot \frac{A}{d} \cdot U^2 \\ W_G &= \frac12 \cdot \epsilon_0 \cdot \frac{10 \text{ cm}^2}{2 \text{ cm}} \cdot \left( 300 \text{ V} \right)^2 \\ W_G &= \frac12 \cdot \epsilon_0 \cdot \frac{10 \cdot 10^{-4} \text{ m}^2}{2 \cdot 10^{-2} \text{ m}} \cdot \left( 300 \text{ V} \right)^2 \\ W_G &= 1,99 \cdot 10^{-8} \text{ J} \end{align} Für die Ladungsmenge gibt es zwei Möglichkeiten. Erstens die Gleichheit der Energien aus $\frac12 C U^2$ und $\frac12 QU$, umstellen nach $Q$, zweitens aus $\sigma = \epsilon_0 E$ Bestimmung der Flächenladungsdichte und mit $\sigma = \frac{Q}{A}$ Bestimmung von $Q$.


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