a) Ein Proton hat einen Radius von ca. $8,41 \cdot 10^{-16} \text{ m}$. Berechnen Sie die Kraft, die zwischen zwei sich berührenden Protonen wirkt.
b) Zwischen dem positiven Kern von Wasserstoff (einem Proton) und dem Elektron auf der K-Schale wirkt die Coulombkraft $F_C = 8,246 \cdot 10^{-8} \text{ N}$. Bestimmen Sie den Abstand von Elektron und Proton (den sog. Bohrschen Radius).
c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, mit der sich ein Elektron in einem Abstand von $5,29 \cdot 10^{-11} \text{ m}$ um den Kern bewegt.
Es handelt sich um zwei Punktladungen mit einem Abstand von dem doppelten Radius eines Protons. Die Ladung ist jeweils eine Elementarladung. Für die Coulombkraft gilt: $$ F_C = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} $$ In diesem Fall erhält man \begin{align} F_C &= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}}{\left(2 \cdot 8,41 \cdot 10^{-16} \text{ m} \right)^2} \\ \\ F_C &= 81,57 \text{ N} \end{align} Für den Abstand zwischen einem Proton und einem Elektron wird die Formel für die Coulombkraft nach dem Radius umgestellt: $$ r = \sqrt{\frac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot F_C}} $$ Mit den gegebenen Werten folgt: \begin{align} r &= \sqrt{\frac{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot 8,246 \cdot 10^{-8} \text{ N}}} \\ \\ r &= 5,29 \cdot 10^{-11} \text{ m} \end{align} Anmerkung zu den Vorzeichen: Die Ladung eines Elektrons ist eine negative Elementarladung, also gilt z.B. $Q_2 = - 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}$. Damit müsste man auch die Richtung der Kraft berücksichtigen. Die ist positiv definiert, wenn sie als abstoßende Kraft wirkt. Im Falle des Proton-Elektron-Paares wirkt eine anziehende Kraft, die also als negative Kraft in der Formel berücksichtigt werden muss. So heben sich die beiden negativen Vorzeichen wieder auf.
In dem Fall der Bewegung um den Kern gelten die Gesetzmäßigkeiten der Kreisbewegung. Die Zentripetalkraft, die für die Kreisbewegung notwendig ist, kann hier nur von der Coulombkraft aufgebracht werden. Es gilt also \begin{align} F_Z &= F_C \\ \\ \frac{m_e \cdot v^2}{r} &= \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0} \cdot \frac{Q_1 \cdot Q_2}{r^2} \end{align} Umgestellt nach $v$ und eingesetzt: \begin{align} v &= \sqrt{\frac{Q_1 \cdot Q_2}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot r \cdot m_e}} \\ \\ v &= \sqrt{\frac{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}}{4 \cdot \pi \cdot \epsilon_0 \cdot 5,29 \cdot 10^{-11} \text{ m} \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} \\ v &= 2,19 \cdot 10^6 \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{align} Anmerkung zu den Vorzeichen. Hier ist es so, dass der Abstand $r$ immer positiv ist. So würde sich das negative Vorzeichen der Ladung des Elektrons nicht herauskürzen lassen. Allerdings ist es bei der Kreisbewegung so, dass die Zentripetalkraft vom Elektron auf das Proton zeigt, die Richtung der Kraft also nach innen weist. Das wird durch die Konstellation mit Proton und Elektron gerade hervorgerufen, also ist $F_C$ auf jeden Fall positiv, im Gegensatz zur Vorzeichendefinition bei der Coulombkraft.