Lösung zu Aufgabe 5 (Extremwertaufgaben)


Einem Schäfer stehen Zaunelemente der Gesamtlänge $s$ zur Verfügung. Damit will er eine rechteckige Einzäunung bauen, wobei eine Seite von einer Felswand gebildet wird. Welche Maße muss er dem Rechteck geben, damit die Fläche möglichst groß wird?


Die Zielfunktion ist $$ A = x \cdot y $$ Mit der Nebenbedingung wird eine Beziehung zwischen den beiden Unbekannten gesucht. Hier ist die Gesamtlänge der Umzäunung $s$ bekannt. Es gilt: $s = x + 2 \cdot y$ oder nach $y$ umgeformt: $$ y = \frac{s}{2} - \frac{x}{2} $$ Dieser Ausdruck wird in die Zielfunktion eingesetzt. \begin{align} A &= x \cdot \left( \frac{s}{2} - \frac{x}{2} \right) \\ \\ A &= - \frac 12 x^2 + \frac s2 x \end{align} Die Ableitungsfunktion $A'$ wird gleich Null gesetzt, um den Maximalwert für $A$ zu bekommen. \begin{align} A' &= - x + \frac s2 \qquad ; \qquad A' = 0 \\ \\ - x + \frac s2 &= 0 \\ \\ x &= \frac s2 \end{align} Für die zweite Ableitung gilt: $A'' = -1 < 0$. Also ist der Extrempunkt ein Maximum.

Es folgt für $y$: \begin{align} y &= \frac{s}{2} - \frac{\frac s2}{2} \\ \\ y &= \frac{s}{2} - \frac{s}{4} \\ \\ y &= \frac s4 \end{align} Damit muss die Länge $x = \frac s2$ und die Länge $y = \frac s4$ sein.



Zurück zu der Aufgabe


© mondbrand MMXIX