Lösung zu Aufgabe 6 (Extremwertaufgaben)
Zunächst muss das zur Verfügung stehende Quadrat mit einer Kantenlänge versehen werden. Diese sei $a$. Die quadratischen Eckstücke
haben die Kantenlänge $x$. Damit hat die Schachtel am Ende das Volumen
$$
V = \left( a - 2 \cdot x \right)^2 \cdot x \\ \\
V = a^2 x - 4 a x^2 + 4 x^3
$$
Für die Ableitungsfunktion ergibt sich
$$
V' = a^2 - 8 a x + 12 x^2
$$
Die Ableitungsfunktion wird gleich Null gesetzt.
\begin{align}
a^2 - 8 a x + 12 x^2 &= 0 \\ \\
12 x^2 - 8 a x + a^2 &= 0 \\ \\
x^2 - \frac 23 a x + \frac{a^2}{12} &= 0 \\ \\
x_{1,2} &= \frac{a}{3} \pm \sqrt{\left(-\frac{a}{3} \right)^2 - \frac{a^2}{12} } \\ \\
x_{1,2} &= \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^2}{9} - \frac{a^2}{12} } \\ \\
x_{1,2} &= \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{4 a^2 - 3 a^2}{36} } \\ \\
x_{1,2} &= \frac{a}{3} \pm \sqrt{\frac{a^2}{36} } \\ \\
x_{1,2} &= \frac{a}{3} \pm \frac{a}{6} \\ \\
x_1 = \frac a6 \qquad & \qquad x_2 = \frac a2
\end{align}
Die zweite Ableitung ist $V'' = 24 x - 8a$. Beide Lösungen werden nacheinander eingesetzt:
\begin{align}
V''\left(x_1\right) &= 24 \cdot \frac a6 - 8a \\ \\
V''\left(x_1\right) &= - 4a < 0 \\ \\ \\
V''\left(x_2\right) &= 24 \cdot \frac a2 - 8a \\ \\
V''\left(x_1\right) &= 4a > 0
\end{align}
Die Lösung $x_2$ führt also zu einem Minimum, was natürlich auch logisch ist, da die Kantenlänge der beiden Eckstücke schon die
Gesamtlänge $a$ des Quadrats ergeben würden. Das Volumen wäre in diesem Fall Null.
Die Eckstücke müssen also jeweils einem Sechstel der gesamten Kantenlänge entsprechen, damit das Schachtelvolumen maximal wird.