Ein frei fallender Körper passiert zwei 12 m auseinander liegende Messpunkte im zeitlichen Abstand von einer Sekunde. Bestimme die Höhe über dem oberen Messpunkt, aus der der Körper fällt und die Geschwindigkeiten, die er jeweils an den Messpunkten hat.
Für die Geschwindigkeiten kann man die folgende Überlegung nutzen: Die Fallstrecke von $s = 12 \text{ m}$ legt der Körper in $t = 1 \text{ s}$
zurück. Er hat also eine durchschnittliche Geschwindigkeit von $v = 12 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}$.
Da bei einem freien Fall die Geschwindigkeit linear zunimmt, ist die durchschnittliche Geschwindigkeit gleich dem Mittelwert aus der Geschwindigkeit
am oberen Messpunkt und der Geschwindigkeit am unteren Messpunkt. Es gilt also $\bar v = \frac{v_{oben} + v_{unten}}{2}$, wobei $\bar v$ die durchschnittliche
Geschwindigkeit bezeichnet.
Weiterhin weiß man, dass bei einem freien Fall die Geschwindigkeit in jeder Sekunde um 9,81 m/s zunimmt, da die Fallbeschleunigung eben genau das
aussagt: Geschwindigkeitszunahme pro Sekunde. Es gilt also: $\Delta v = 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}$, damit $v_{unten} - v_{oben} = 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}$ und
schließlich $v_{unten} = 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} + v_{oben}$. Insgesamt folgt:
\begin{align}
\bar v &= \frac{v_{oben} + v_{unten}}{2} \\ \\
\bar v &= \frac{v_{oben} + 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} + v_{oben}}{2} \\ \\
\bar v &= \frac{2 \cdot v_{oben} + 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}}{2} \\ \\
\bar v &= v_{oben} + \frac{9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}}{2} \\ \\
v_{oben} &= \bar v - \frac{9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}}{2} \\
v_{oben} &= 12 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} - \frac{9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}}{2} \\
v_{oben} &= 7,095 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} \\ \\
v_{unten} &= v_{oben} + 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} \\
v_{unten} &= 7,095 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} + 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} \\
v_{unten} &= 16,905 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}}
\end{align}
Mit der Geschwindigkeit am oberen Messpunkt kann nun die bis dahin zurückgelegte Strecke bestimmt werden:
\begin{align}
s = \frac12 \cdot a \cdot t^2 \qquad &; \qquad v = a \cdot t \\ \\
s &= \frac{v^2}{2a} \\ \\
s &= \frac{\left(7,095 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}} \right)^2}{2 \cdot 9,81 \frac{ \text{ m}}{ \text{ s}^2}} \\
s &= 2,566 \text{ m}
\end{align}
Der Fall beginnt also ca. 2,57 m über dem oberen Messpunkt.
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