Lösung zu Aufgabe 2 (Bewegungen)


Zwei ehemalige Schulfreunde, Fritz und Karl, wohnen jetzt 80 km voneinander entfernt. Trotzdem wollen sie sich treffen. Beide fahren morgens um 8.00 Uhr los.
Fritz fährt mit seinem Mofa eine Stunde mit 25 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Leider hat er eine Panne, die ihn für eine halbe Stunde aufhält. Danach kann er nur noch mit 20 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ weiterfahren.
Karl fährt mit seinem Fahrrad eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 15 $\frac{\text{km}}{\text{h}}$. Um 9.30 Uhr macht er eine Rast von 45 Minuten und fährt dann mit gleichem Tempo weiter.
a) Um wieviel Uhr treffen sie sich?
b) Wieviele Kilometer hat Karl bis zum Treffpunkt zurückgelegt?


Für die Lösung dieser Aufgabe sollte man die beiden Bewegungen parallel zueinander untersuchen. Zunächst fährt Fritz die Strecke $s_{F,1} = 25 \; \text{km}$ in $t_{F,1} = 1 \; \text{h}$ mit $v_{F,1} = 25 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$. Anschließend hat er für $t_{F,2} = 0,5 \; \text{h}$ eine Panne, bewegt sich also nicht weiter.
Karl fährt eine Strecke von $s_{K,1} = 22,5 \; \text{km}$ in $t_{K,1} = 1,5 \; \text{h}$ mit $v_{K,1} = 15 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$.
Nach insgesamt 1,5 Stunden haben beide den Abstand zwischen sich auf 80 km - (25 km + 22,5 km) = 32,5 km verringert.

Karl macht nun 45 Minuten Pause. In dieser Zeit legt Fritz eine Strecke von 15 km zurück: $s_{F,2} = 20 \; \frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot \frac{3}{4} \; \text{h} = 15 \; \text{km}$
Der Abstand hat sich um 10.15 Uhr auf 17,5 km verringert. Ab jetzt fahren beide ohne Unterbrechungen mit konstanter Geschwindigkeit weiter.
Für den Restweg beider kann man schreiben: \begin{align} s_F &= v_F \cdot t \\ s_K &= v_K \cdot t \end{align} Eine der beiden Gleichungen wird nun nach $t$ umgestellt und in die andere Gleichung eingesetzt: \begin{align} s_K &= v_K \cdot \frac{s_F}{v_F} \\ s_K &= \frac{v_K}{v_F} \cdot s_F \\ \end{align} Man weiss noch, dass $s_F + s_K = 17,5 \; \text{km}$ ist, also $s_F = 17,5 \; \text{km} - s_K$ gilt. Das wird in die obige Gleichung eingesetzt: \begin{align} s_K &= \frac{v_K}{v_F} \cdot \left( 17,5 \; \text{km} - s_K \right) \\ \\ s_K &= \frac{v_K}{v_F} \cdot 17,5 \; \text{km} - \frac{v_K}{v_F} \cdot s_K \\ \\ s_K + \frac{v_K}{v_F} \cdot s_K &= \frac{v_K}{v_F} \cdot 17,5 \; \text{km} \\ \\ s_K \cdot \left( 1 + \frac{v_K}{v_F} \right) &= \frac{v_K}{v_F} \cdot 17,5 \; \text{km} \\ \\ s_K &= \frac{\frac{v_K}{v_F} \cdot 17,5 \; \text{km}}{\left( 1 + \frac{v_K}{v_F} \right)} \\ \\ s_K &= \frac{\frac{15 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}}{20 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}} \cdot 17,5 \; \text{km}}{\left( 1 + \frac{15 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}}{20 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}} \right)} = \frac{\frac{3}{4} \cdot 17,5 \; \text{km}}{\frac{7}{4}} \\ \\ s_K &= \frac{3}{4} \cdot 17,5 \; \text{km} \cdot \frac{4}{7} = 7,5 \; \text{km} \end{align} In diesem Abschnitt hat Karl also 7,5 km zurückgelegt. Insgesamt kommt er auf eine Strecke von
$s_K = 22,5 \; \text{km} + 7,5 \; \text{km} = 30 \; \text{km}$.


Antwort b): Karl hat insgesamt 30 km zurückgelegt.


Für die Strecke von 30 km hat Karl wegen $v_K = 15 \; \frac{\text{km}}{\text{h}}$ zwei Stunden benötigt. Zusammen mit seinen 45 Minuten Pause ist er also bis um 10.45 Uhr unterwegs.


Antwort a): Sie treffen sich um 10.45 Uhr.


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