Von einem Hochhausdach in 95 m Höhe wird ein Stein mit einer Geschwindigkeit von 2 Metern pro Sekunde hinabgeworfen.
a) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit trifft er auf dem Boden auf?
b) Welche Wegstrecke durchfliegt der Stein in der dritten Flugsekunde und um welchen Betrag nimmt dabei seine Geschwindigkeit zu?
c) In welcher Höhe über dem Boden besitzt der Stein die halbe Auftreffgeschwindigkeit?
Als erstes setzt man den Startpunkt der Bewegung, d.h. $s_0 = 0$ an die Dachoberseite. Damit wird eine Bewegung nach unten beschrieben. Man erhält für die Bewegung die folgenden Gleichungen: \begin{align} v(t) &= a \cdot t + v_0 \\ s(t) &= \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t \end{align} Für die Beschleunigung $a$ gilt: $a = g = 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$. Weiterhin ist $v_0 = 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}}$ und $s(t) = 95 \; \text{m}$.
Zu Teil a)
Für die beim Fall vergangene Zeit schreibt man:
\begin{align}
s(t) &= \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t \\
95 \; \text{m} &= \frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t \\
0 &= \frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot t^2 + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot t - 95 \; \text{m} \\
0 &= t^2 + \frac{2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}}}{\frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}\cdot t - \frac{95 \; \text{m}}{\frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} \\
0 &= t^2 + \frac{4}{9,81}\;\text{s} \cdot t - \frac{190}{9,81}\;\text{s}^2 \qquad \qquad \vert \qquad p = \frac{4}{9,81}\;\text{s}\; ; \; q = -\frac{190}{9,81}\;\text{s}^2 \\
t_{1,2} &= - \frac{2}{9,81}\;\text{s} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{9,81}\;\text{s} \right)^2 + \frac{190}{9,81}\;\text{s}^2 } \\
t_{1} &= 4,20 \; \text{s} \\
t_{2} &= - 4,61 \; \text{s}
\end{align}
Die Lösung $t_2$ ist physikalisch nicht sinnvoll. Daher kommt als einzige Lösung nur $t_1 = 4,20 \; \text{s}$ in Frage.
Für die Auftreffgeschwindigkeit gilt: \begin{align} v(t) &= a \cdot t + v_0 \\ v(4,20 \; \text{s}) &= 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 4,20 \; \text{s} + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ v(4,20 \; \text{s}) &= 43,20 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \end{align}
Zu Teil b)
Die dritte Flugsekunde ist die Zeitdifferenz zwischen $t_1 = 2 \;\text{s}$ und $t_2 = 3 \;\text{s}$. Für die in dieser Zeit zurückgelegte Strecke
gilt:
\begin{align}
\Delta s &= s(3 \;\text{s}) - s(2 \;\text{s}) \\
\Delta s &= \frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \left( 3 \;\text{s} \right)^2 + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 3 \;\text{s} -
\left( \frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \left( 2 \;\text{s} \right)^2 + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2 \;\text{s} \right) \\
\Delta s &= 26,525 \; \text{m}
\end{align}
Für die Geschwindigkeitszunahme folgt analog dazu:
\begin{align}
\Delta v &= v(3 \;\text{s}) - v(2 \;\text{s}) \\
\Delta v &= 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 3 \; \text{s} + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} - \left( 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot 2 \; \text{s} + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \right) \\
\Delta v &= 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}}
\end{align}
Zu Teil c)
Die halbe Auftreffgeschwindigkeit beträgt $v(t) = 21,60 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$. Da die Höhe über dem Boden gesucht ist, braucht man den zurückgelegten Weg $s(t)$.
Für den gilt: $s(t) = \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t$. Da man die Zeit nicht kennt, braucht man zusätzlich $v(t) = g \cdot t + v_0$, was nach
$t$ umgestellt und anschließend in $s(t)$ eingesetzt wird.
\begin{align}
v(t) &= g \cdot t + v_0 \\
t &= \frac{v(t) - v_0}{g} = \frac{21,60 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} - 2 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}}{9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}} = 2,00 \;\text{s} \\
s(t) &= \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t \\
s(2,00 \;\text{s}) &= \frac{1}{2} 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \left( 2,00 \;\text{s}\right)^2 + 2 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2,00 \;\text{s} \\
s(2,00 \;\text{s}) &=23,62 \;\text{m}
\end{align}
Das ist die Fallstrecke bis zur halben Auftreffgeschwindigkeit. Gesucht war die Höhe über dem Boden, also
$$h = h_{max} - s(2,00 \;\text{s}) = 95 \;\text{m} - 23,62 \;\text{m} = 71,38 \;\text{m}$$
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