An einer Feder mit der Federkonstanten $D = 198,2 \, \frac{\text{N}}{\text{m}}$ hängt ein Körper mit der
Masse $m = 2 \text{ kg}$. Die Amplitude der Schwingung beträgt 10 cm.
a) Berechnen Sie die Frequenz der Schwingung.
Zum Zeitpunkt $t = 0$ befindet sich der Körper in der Gleichgewichtsposition.
b) Geben Sie die Schwingungsgleichung an.
c) Berechnen Sie die maximale Geschwindigkeit der Schwingung. Zu welchem Zeitpunkt wird sie das erstemal
erreicht?
d) Bestimmen Sie die Kraft, mit der der Körper maximal beschleunigt wird.
Für die Frequenz gilt: $f = \frac{1}{T}$. Die Periodendauer eines Federpendels lässt sich mit $T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}}$ bestimmen. Also: \begin{align} T &= 2 \pi \sqrt{\frac{m}{D}} \\ T &= 2 \pi \sqrt{\frac{2 \text{ kg}}{198,2 \, \frac{\text{N}}{\text{m}}}} \\ T &= 0,63 \text{ s} \\ f &= \frac{1}{0,63 \text{ s}} \\ f &= 1,59 \text{ Hz} \end{align}
Mit $f = 1,59 \text{ Hz}$ wird $\omega = 2 \pi \cdot 1,59 \text{ Hz} = 9,99 \text{ s}^{-1}$. Die Phasenverschiebung ist $\varphi_0 = 0$, da der Körper sich zur Startzeit in der Gleichgewichtsposition befindet. Mit der Auslenkung $\hat{s} = 0,1 \text{ m}$ folgt: $$ s(t) = 0,1 \text{ m} \cdot sin (9,99 \text{ s}^{-1} \cdot t) $$
Die maximale Geschwindigkeit lässt sich aus $\hat{v} = \omega \hat{s}$ bestimmen. Es gilt: $$ \hat{v} = 9,99 \text{ s}^{-1} \cdot 0,1 \text{ m} \\ \hat{v} = 0,999 \approx 1 \, \frac{m}{s} $$
Die maximale Geschwindigkeit liegt immer beim Durchlaufen der Gleichgewichtsposition vor. Damit wird sie das erstemal nach genau einer halben Schwingung erreicht, d.h. nach 0,315 s.
Die maximale Kraft lässt sich mit $\hat{F} = - m \omega^2 \hat{s}$ berechnen: $$ \hat{F} = - 2 \text{ kg} \cdot 9,99^2 \text{ s}^{-2} \cdot 0,1 \text{ m} \\ \hat{F} = - 19,96 \text{ N} $$ Der maximale Kraftbetrag ist also 19,96 N.