Lösung zu Aufgabe 6 (Elektrische Felder)
Zwei Ladungen Q1 und Q2 befinden sich in einem Abstand von 10 cm voneinander.
Es seien Q1=5 nC und Q2=10 nC.
a) Berechnen Sie die Kraft, die auf eine Probeladung q=1 nC in der Mitte zwischen den Ladungen wirkt.
b) Bestimmen Sie die Position der Probeladung, an der keine Kraft auf sie wirkt.
c) Skizzieren Sie aufgrund ihrer Ergebnisse das elektrische Feld.
Die Kraft ist eine gerichtete Größe, die aufgrund des Superpositionsprinzips unabhängig voneinander berechnet und im Anschluss zusammengefasst werden kann. Damit berechnet man zunächst die Kraft, die die Ladung Q1 auf die Probeladung ausübt, danach die Kraft, die durch die Ladung Q2 auf die Probeladung ausgeübt wird. Zum Schluss werden beide (Einzel-)Kräfte zu einer resultierenden (Gesamt-)Kraft zusammengefasst.
Für die Ladung Q1: F1=14⋅π⋅ϵ0⋅Q1⋅qr2F1=14⋅π⋅ϵ0⋅5 nC⋅1 nC(5 cm)2F1=1,80⋅10−5 N Da beide Ladungen positiv sind, handelt es sich um eine abstoßende Kraft. Sie weist also am Ort der Probeladung von Q1 weg.
Für die Ladung Q2: F2=14⋅π⋅ϵ0⋅Q2⋅qr2F2=14⋅π⋅ϵ0⋅10 nC⋅1 nC(5 cm)2F2=3,60⋅10−5 N Da auch hier beide Ladungen positiv sind, weist die Kraft am Ort der Probeladung von Q2 weg.
Die Probeladung befindet sich zwischen den Feldladungen, d.h. die drei Ladungen liegen auf einer Linie. Damit liegen die wirkenden Kräfte auch auf einer Linie. Sie können also einfach addiert werden, wenn berücksichtigt wird, dass sie in die entgegengesetzten Richtungen weisen. Es folgt also: F=F1+(−F2)F=1,80⋅10−5 N−3,60⋅10−5 NF=−1,80⋅10−5 N Die Kraft, die insgesamt auf die Probeladung wirkt, beträgt 1,8⋅10−5 N. Das Vorzeichen berücksichtigt lediglich die Richtung der Kraftwirkung, die hier aber nicht gefragt war.
Die allgemeine Situation mit der Probeladung zwischen den Feldladungen sieht etwa so wie in der Abbildung aus. Der Abstand der Probeladung von einer
Feldladung (hier: Q2) ist x, der Abstand von der anderen Feldladung Q1 entsprechend 0,1 - x.
Da die Probeladung kräftefrei sein soll, müssen sich die beiden Coulombkräfte aufgrund der Feldladungen gegenseitig aufheben. Es gilt also: F1=F2 Für die jeweiligen Abstände r in den Ausdrücken für F1 uns F2 setzt man dann entsprechend x, bzw. 0,1−x ein: 14⋅π⋅ϵ0⋅Q1⋅q(0,1−x)2=14⋅π⋅ϵ0⋅Q2⋅qx2Q1⋅q4⋅π⋅ϵ0⋅x2=Q2⋅q4⋅π⋅ϵ0⋅(0,1−x)2 Der Ausdruck q4⋅π⋅ϵ0 ist auf beiden Seiten der Gleichung identisch und kürzt sich somit heraus. Es verbleibt: Q1⋅x2=Q2⋅(0,1−x)2Q1Q2⋅x2=0,01−0,2⋅x+x2(Q1Q2−1)⋅x2+0,2⋅x−0,01=0x2+0,2(Q1Q2−1)⋅x−0,01(Q1Q2−1)=0x1,2=0,2±√0,04−0,02x1=0,34x2=0,06 Die erste Lösung führt zu einem Punkt, der außerhalb der beiden Feldladungen liegt. Diese Lösung wird hier vernachlässigt. Die zweite Lösung führt zu dem Punkt, an dem sich die Kräfte auf eine Probeladung gegenseitig aufheben. Der Punkt hat von der Ladung Q2 den Abstand 6 cm und von der Ladung Q1 den Abstand 4 cm.