a) Beschreiben Sie einen Prozess, mit dem freie Elektronen erzeugt werden können.
Die erzeugten Elektronen werden durch eine Spannung von $2 \text{ kV}$ beschleunigt.
b) Berechnen Sie die mittlere Geschwindigkeit, die die Elektronen nach der Beschleunigung aufweisen.
Mit dieser Geschwindigkeit treten sie parallel zu den Platten in ein homogenes elektrisches Feld eines Plattenkondensators ein. An den Platten liegt eine Spannung von $400 \text{ V}$ an; ihr Abstand beträgt $2 \text{ cm}$.
c) Welche Art von Kräften wirken auf die Elektronen (besser: auf ein Elektron)? Geben Sie die Beträge an.
d) Skizzieren Sie die Bewegungsbahn des Elektrons im elektrischen Feld des Plattenkondensators.
Angenommen, der Plattenkondensator habe eine Länge von $5 \text{ cm}$.
e) Mit welcher Ablenkung aus der waagerechten Linie treten die Elektronen aus dem Kondensator wieder aus?
f) Welche Spannung darf an den Platten höchstens anliegen, damit die Elektronen gerade noch aus dem Kondensator austreten können, wenn sie mittig in ihn eintreten?
Freie Elektronen könne z.B. durch den glühelektrischen Effekt erzeugt werden. Durch das Anlegen einer sogenannten Heizspannung an einen dünnen Metalldraht (der Glühwendel einer Glühlampe) bekommen die Elektronen im Draht kinetische Energie, die sie durch elastische Stöße mit den Rumpfatomen wieder abgeben. Durch die Stöße wird der Draht stark erwärmt; er fängt an zu glühen. Starke Erwärmung bedeutet, dass die Rumpfatome in starke Schwingungen versetzt werden. Durch diese Schwingungen stoßen sie auch gegen die sich bewegenden Elektronen, die aufgrund des zusätzlichen Impulses genügend Energie besitzen, um den Metallverband zu verlassen.
Es gilt die Energieerhaltung: \begin{align} E_{kin} &= W \\ \frac12 \cdot m_e \cdot v^2 &= e \cdot U \\ \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot U}{m_e}} \\ v &= \sqrt{\frac{2 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 2 \cdot 10^3 \text{ V}}{9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg}}} \\ v &= 2,65 \cdot 10^7 \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \end{align} Auf das Elektron wirken zwei Kräfte: erstens die Coulombkraft durch das homogene elektrische Feld und zweitens die Gewichtskraft durch die Gravitation. Für die Coulombkraft: \begin{align} F_C &= E \cdot q \\ F_C &= \frac{U}{d} \cdot e \\ F_C &= \frac{400 \text{ V}}{2 \cdot 10^{-2} \text{ m}} \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \\ F_C &= 3,204 \cdot 10^{-15} \text{ N} \end{align} Für die Gewichtskraft: \begin{align} F_G &= m_e \cdot g \\ \\ F_G &= 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot 9,81 \frac{\text{ m}}{\text{ s}^2} \\ F_G &= 8,927 \cdot 10^{-30} \text{ N} \end{align} Die Bewegungen des Elektrons können in einzelne Bewegungen in $x$-Richtung und in $y$-Richtung aufgeteilt werden (Superpositionsprinzip). In $x$-Richtung handelt es sich um eine gleichförmige Bewegung mit einer konstanten Geschwindigkeit $v_x = 2,65 \cdot 10^7 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}$. In $y$-Richtung liegt eine beschleunigte Bewegung vor. Die vorliegende Beschleunigung wird durch die Kraft hervorgerufen, die das Elektron im elektrischen Feld erfährt. Hier gilt also: $a = \frac{F}{m_e}$; $F = e \cdot \frac{U}{d}$ und $y = \frac12 \cdot a \cdot t^2$. Die Zeit, die die Kraft auf das Elektron wirkt, ist die Zeit, die das Elektron benötigt, um durch den Kondensator zu fliegen, also $t = \frac{x}{v_x}$, wobei $x$ die Länge des Kondensators ist. Insgesamt erhält man den folgenden Ausdruck: \begin{align} y &= \frac12 \cdot a \cdot t^2 \\ \\ y &= \frac12 \cdot \frac{F}{m_e} \cdot t^2 \\ \\ y &= \frac12 \cdot \frac{e \cdot U}{d \cdot m_e} \cdot t^2 \\ \\ y &= \frac12 \cdot \frac{e \cdot U}{d \cdot m_e} \cdot \left( \frac{x}{v_x} \right)^2 \\ \\ y &= \frac{e \cdot U}{2 \cdot d \cdot m_e \cdot v_x^2} \cdot x^2 \\ \\ y &= \frac{ 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C} \cdot 400 \text{ V} }{ 2 \cdot 2 \cdot 10^{-2} \text{ m} \cdot 9,1 \cdot 10^{-31} \text{ kg} \cdot \left( 2,65 \cdot 10^7 \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \right)^2} \cdot \left( 5 \cdot 10^{-2} \text{ m} \right)^2 \\ \\ y &= 0,00627 \text{ m} \\ \\ y &= 6,27 \text{ mm} \end{align} Die maximale Ablenkung in $y$-Richtung am Ende des Kondensators ist $y = 10 \text{ mm}$. Da die Ablenkung proportional zur Spannung ist, folgt: \begin{align} \frac{10 \text{ mm}}{6,27 \text{ mm}} &= \frac{V_{max}}{400 \text{ V}} \\ \\ V_{max} &\approx 638 \text{ V} \end{align}