Ein Kupferplättchen der Breite $b$ = 1,8 cm und der Dicke $d$ = 1 mm wird in ein Magnetfeld der Flussdichte $B$ = 1,2 T gebracht.
Bei einem Strom $I$ = 15 A wird eine Hall-Spannung $U_H$ = - 1,02 µV gemessen.
a) Bestimmen Sie die Hall-Konstante $R_H$ von Kupfer. Geben Sie an, um welche Art von Ladungsträgern es sich handelt.
b) Bestimmen Sie die Ladungsträgerdichte $n$ von Kupfer. Bestimmen Sie außerdem die Anzahl von Ladungsträgern pro Atom.
c) Berechnen Sie die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger in Kupfer.
a)
Für die Hall-Spannung gilt:
\begin{align}
U_H = R_H \cdot \frac{I}{d} \cdot B
\end{align}
Umgestellt nach $R_H$:
$$
R_H = \frac{U_H \cdot d}{I \cdot B}
$$
Mit den gegebenen Werten ergibt sich:
\begin{align}
R_H &= \frac{- 1,02 \cdot 10^{-6} \text{ V} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}}{15 \text{ A} \cdot 1,2 \text{ T}} \\ \\
R_H &= - 5,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}} \\ \\
\end{align}
Die Polarität der angegebenen Hall-Spannung und die Linke-Hand-Regel ergeben, dass es sich um Elektronen als Ladungsträger handeln muss.
b)
Mit $R_H = - 5,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}}$ ergibt sich:
\begin{align}
n &= \frac{1}{R_H \cdot e} \\
n &= \frac{1}{- 5,67 \cdot 10^{-11} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}} \cdot - 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}} \\ \\
n &= 1,1 \cdot 10^{29} \frac{1}{\text{ m}^3}
\end{align}
Das ist die Ladungsträgerdichte.
Ein Cu-Atom wiegt 63,4 u:
$$
m = 63,4 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
$$
Weiterhin gilt:
$$
\rho = \frac{N \cdot m}{V} \\
V = \frac{N \cdot m}{\rho}
$$
und
$$
n = \frac{N}{V}
$$
Damit erhält man
$$
n = \frac{\rho}{m}
$$
Mit $\rho = 8,92 \cdot 10^3 \frac{\text{ kg}}{\text{ m}^3}$ ergibt sich:
\begin{align}
n &= \frac{8,92 \cdot 10^3 \frac{\text{ kg}}{\text{ m}^3}}{63,4 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}} \\
n &= 8,5 \cdot 10^{28} \frac{1}{\text{ m}^3}
\end{align}
Das ist die Atomdichte.
Damit bekommt man die Anzahl der Ladungsträger pro Atom:
$$
\frac{1,1 \cdot 10^{29} \frac{1}{\text{ m}^3}}{8,5 \cdot 10^{28} \frac{1}{\text{ m}^3}} = 1,3
$$
Pro Cu-Atom gibt es also 1,3 freie Elektronen.
c)
Es gilt:
\begin{align}
U_H &= b \cdot v \cdot B \\
v &= \frac{U_H}{b \cdot B} \\
v &= \frac{1,02 \cdot 10^{-6} \text{ V}}{1,8 \cdot 10^{-2} \text{ m} \cdot 1,2 \text{ T}} \\ \\
v &= 4,7 \cdot 10^{-5} \frac{\text{ m}}{\text{ s}} \\
v &\approx 0,05 \frac{\text{ mm}}{\text{ s}}
\end{align}