Ein Germaniumplättchen hat die Maße $b$ = 1,2 cm und $d$ = 1 mm. In einem Magnetfeld der Flussdichte $B$ = 106 mT wird bei $I$ = 30 mA eine
Hall-Spannung $U_H$ = - 20,6 mV gemessen.
a) Bestimmen Sie die Hall-Konstante $R_H$ von Germanium und begründen Sie, dass es sich bei den Ladungsträgern um Elektronen handelt.
b) Zeigen Sie, dass auf ein freies Leitungselektron mehr als 10^6 Atome kommen.
c) Berechnen Sie die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger in Germanium. Vergleichen Sie mit dem Ergebnis aus 1 c).
a)
Für die Hall-Spannung gilt:
\begin{align}
U_H = R_H \cdot \frac{I}{d} \cdot B
\end{align}
Umgestellt nach $R_H$:
$$
R_H = \frac{U_H \cdot d}{I \cdot B}
$$
Mit den gegebenen Werten ergibt sich:
\begin{align}
R_H &= \frac{- 20,6 \cdot 10^{-3} \text{ V} \cdot 1 \cdot 10^{-3} \text{ m}}{30 \cdot 10^{-3} \text{ A} \cdot 106 \cdot 10^{-3} \text{ T}} \\ \\
R_H &= - 6,48 \cdot 10^{-3} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}} \\ \\
\end{align}
Die Polarität der angegebenen Hall-Spannung und die Linke-Hand-Regel ergeben, dass es sich um Elektronen als Ladungsträger handeln muss.
b)
Mit $R_H = - 6,48 \cdot 10^{-3} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}}$ ergibt sich:
\begin{align}
n &= \frac{1}{R_H \cdot e} \\
n &= \frac{1}{- 6,48 \cdot 10^{-3} \frac{\text{ m}^3}{\text{ C}} \cdot - 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ C}} \\ \\
n &= 9,6 \cdot 10^{20} \frac{1}{\text{ m}^3}
\end{align}
Das ist die Ladungsträgerdichte.
Ein Ge-Atom wiegt 72,6 u:
$$
m = 72,6 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}
$$
Weiterhin gilt:
$$
\rho = \frac{N \cdot m}{V} \\
V = \frac{N \cdot m}{\rho}
$$
und
$$
n = \frac{N}{V}
$$
Damit erhält man
$$
n = \frac{\rho}{m}
$$
Mit $\rho = 5,3 \cdot 10^3 \frac{\text{ kg}}{\text{ m}^3}$ ergibt sich:
\begin{align}
n &= \frac{5,3 \cdot 10^3 \frac{\text{ kg}}{\text{ m}^3}}{72,6 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ kg}} \\
n &= 4,4 \cdot 10^{28} \frac{1}{\text{ m}^3}
\end{align}
Das ist die Atomdichte.
Damit bekommt man die Anzahl der Ladungsträger pro Atom:
$$
\frac{9,6 \cdot 10^{20} \frac{1}{\text{ m}^3}}{4,4 \cdot 10^{28} \frac{1}{\text{ m}^3}} = 2,2 \cdot 10^{-8}
$$
Auf ein Elektron (Ladungsträger) kommen also 220 Millionen Ge-Atome.
c)
Es gilt:
\begin{align}
U_H &= b \cdot v \cdot B \\
v &= \frac{U_H}{b \cdot B} \\
v &= \frac{20,6 \cdot 10^{-3} \text{ V}}{1,2 \cdot 10^{-2} \text{ m} \cdot 106 \cdot 10^{-3} \text{ T}} \\ \\
v &= 16,2 \frac{\text{ m}}{\text{ s}}
\end{align}
Die Elektronen bewegen sich im Germanium ca. 300 mal schneller als in Kupfer.
Dagegen sind in Kupfer ca. 200 Millionen mal mehr Elektronen vorhanden.