Näherung für kleine Winkel


Die sogenannte Kleinwinkelnäherung vereinfacht viele Ausdrücke und Ansätze und ermöglicht oft erst eine akzeptable Vorgehensweise bei der Bearbeitung von Aufgaben.
Die Näherung lautet: \begin{align} sin \, \alpha &\approx \alpha \\ sin \, \alpha &\approx tan \, \alpha \end{align} In der Abbildung sind die für die Näherung wesentlichen Ausdrücke gezeigt. Intuitiv lässt sich erkennen, dass für kleine Winkel $\alpha$ die Längen $s$ und $b$ ungefähr gleich groß sind und dass im rechtwinkligen Dreieck in der Abbildung die Hypothenuse ungefähr so lang ist wie die Ankathete.
Allgemein werden $s$ und $b$ so berechnet: \begin{align} sin \, \alpha &= \frac{s}{r} \\ s &= r \cdot sin \, \alpha \\ \\ b &= r \cdot \frac{\pi}{180^\circ} \cdot \alpha \end{align} Mit der folgenden Tabelle soll die Ähnlichkeit von $s$ und $b$ gezeigt werden:

$\alpha$$s$$b$
000
0,10,00170,0017
0,20,00350,0035
0,30,00520,0052
0,40,00700,0070
0,50,00870,0087
1,00,01750,0175
2,00,03490,0349
3,00,05230,0523
4,00,06980,0698
5,00,08720,0873
10,00,17360,1745
15,00,25880,2618


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