Bewegungen
Geradlinige Bewegungen
Als geradlinige Bewegungen werden diejenigen Bewegungen bezeichnet, deren Weg eine bestimmbare Länge besitzen, z.B. weil der Weg eine geometrische Figur beschreibt oder weil eine mathematische Funktion dahintersteht.
Die Bewegung der Erde um die Sonne ist eine Bewegung auf einer Kreisbahn. Diese Kreisbahn hat aber eine ganz bestimmte
Länge, in diesem Fall den Umfang eines Kreises mit dem Abstand der Erde von der Sonne als Radius,
r = 150000000 km. Für den Umfang
gilt dann:
$$
U = 2 \cdot \pi \cdot r
$$
In diesem Beispiel wäre also die Länge des Weges, den die Erde im Laufe eines Jahres zurücklegt:
$$
U = 9,4 \cdot 10^8 \; \text{km}
$$
Der Weg, auf dem eine Bewegung stattfindet, wird i.A. mit dem Buchstaben $s$ bezeichnet. Die Standardeinheit für den Weg ist Meter. $$ \text{Strecke} \; s \\ [s] = 1 \; \text{m} $$ Für die Zeitspanne, die eine Bewegung andauert, wird der Buchstabe $t$ verwendet, mit der Einheit Sekunde. $$ \text{Zeit} \; t \\ [t] = 1 \; \text{s} $$
Für die Beschreibung einer Bewegung ist es notwendig, die Veränderung der Position eines Objektes auf einer Strecke in
Abhängigkeit von der Zeit zu wissen.
Für die Veränderung der Position schreibt man $\Delta s$ und für die dafür benötigte Zeitspanne $\Delta t$. Der
Quotient aus den beiden Größen nennt man Geschwindigkeit $v$. Es gilt:
$$
v = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s_1 - s_0}{t_1 - t_0}
$$
Die Größen $s_0$ und $t_0$ sind dabei immer die Größen am Anfang einer Messung. Die weiteren Größen, die im
Verlauf der Bewegung noch bestimmt werden, werden dann folgerichtig mit $s_1$, $t_1$, $s_2$, $t_2$, usw. bezeichnet.
Im Gegensatz dazu bezeichnen die Größen $s$ und $t$ Variablen, d.h. unbekannte und veränderliche Größen.
Für die Geschwindigkeit $v$ erhält man die Einheit Meter pro Sekunde: $$ \text{Geschwindigkeit} \; v\\ [v]=1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Stellt man $v = \frac{\Delta s}{\Delta t}$ nach $\Delta s$ um, erhält man: $$ \Delta s = v \cdot \Delta t $$
Die Strecke $s$ und die Zeit $t$ sind also proportional zueinander. Der Proportionalitätsfaktor ist dann die Geschwindigkeit $v$.
In manchen Fällen ist es sinnvoll, die zu beschreibende Bewegung als Diagramm darzustellen. Hier ist es üblich, auf der
$x$-Achse die Zeit $t$ aufzutragen und auf der $y$-Achse die Strecke $s$. Damit erhält man ein $t$-$s$-Diagramm:
$$ \quad \quad s(t)=v \cdot t \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad s(t)=v \cdot t + s_0 $$
Links ist der proportionale Verlauf der Strecke in Abhängigkeit von der Zeit zu sehen. Die Steigung der Geraden ist die
Geschwindigkeit, die somit auch mit Hilfe des Steigungsdreiecks ermittelt werden kann.
Rechts ist die Gerade um $s_0$ nach oben verschoben. Die Steigung und damit die Geschwindigkeit ist dieselbe wie in der linken
Abbildung.
Proportional bedeutet, dass die Gerade durch den Koordinatenursprung verlaufen muss. Daher ist in diesem Fall $s_0 = 0$ und $t_0 = 0$. So entsteht aus $ \Delta s = v \cdot \Delta t$: \begin{align} \left( s_1 - s_0 \right) & = v \cdot \left( t_1 - t_0 \right) \\ s_1 & = v \cdot t_1 \\ s(t) & = v \cdot t \end{align}
In der rechten Abbildung ist $s_0 \neq 0$, daher folgt aus $ \Delta s = v \cdot \Delta t$: \begin{align} \left( s_1 - s_0 \right) & = v \cdot \left( t_1 - t_0 \right) \\ s_1 & = v \cdot t_1 + s_0 \\ s(t) & = v \cdot t + s_0 \end{align}
Eine andere Form der Darstellung ist das $t$-$v$-Diagramm. Hier wird auf der $y$-Achse die Geschwindigkeit $v$ aufgetragen.
Das in der Abbildung markierte Viereck hat die Kantenlängen $a = v_1$ und $b = t_2 - t_1 = \Delta t$. Der Flächeninhalt des
Viereckes ist demnach $A = a \cdot b = v_1 \cdot \Delta t$. Das wiederum ist gleich der Strecke $s = v_1 \cdot \Delta t$.
In einem $t$-$v$-Diagramm kann man also die mit einer Geschwindigkeit $v$ zurückgelegten Strecke $s$ bestimmen, indem man
die Fläche unter der Geraden in dem betrachteten Zeitintervall $\Delta t$ berechnet.
Der Fall $s_0 \neq 0$ muss allerdings extra berücksichtigt werden, da der Fall im $t$-$v$-Diagramm nicht zu erkennen ist.
Im $t$-$v$-Diagramm wird deutlich, dass sich die Geschwindigkeit der Bewegung im Verlauf der Zeit nicht verändert. Man hat also eine konstante Geschwindigkeit. Ist das bei einer Bewegung der Fall, spricht man von einer gleichförmigen Bewegung.
Verändert sich die Geschwindigkeit, spricht man von einer ungleichförmigen Bewegung. Für diesen Fall betrachtet man die Veränderung der Geschwindigkeit, analog zur Veränderung der Position weiter oben: $$ a = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_1 - v_0}{t_1 - t_0} $$ Dabei wird die Beschleunigung $a$ definiert als die Veränderung der Geschwindigkeit in einem Zeitintervall. Dabei erhält man als Einheit für die Beschleunigung Meter pro Sekunde zum Quadrat. $$ \text{Beschleunigung} \; a \\ [a] = 1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} $$
Ebenfall analog zu den oben genannten Fällen ergibt sich im $t$-$v$-Diagramm eine Gerade mit der Steigung $a$.
$$
\Delta v = a \cdot \Delta t
$$
$$
v_1 = a \cdot \Delta t + v_0
$$
Zusammen mit $t_0 = 0$ und $v_0 \neq 0$ ergibt sich:
$$
v(t)=a \cdot t+v_0
$$
Der zurückgelegte Weg $s$ wird ebenfalls berechnet, indem man die Fläche unter der Geraden berechnet:
$$
A = s = v_1 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} \Delta v \cdot \Delta t
$$
Der Summand $v_1 \cdot \Delta t$ ist durch das lila Viereck gekennzeichnet, der Summand $\frac{1}{2} \Delta v \cdot \Delta t$
durch das blaue Dreieck.
Wird nun noch das $\Delta v$ durch den Ausdruck $a \cdot \Delta t$ ersetzt, erhält man:
$$
\Delta s = v_1 \cdot \Delta t + \frac{1}{2} a \cdot \Delta t^2 \\
s_1 = \frac{1}{2} a \cdot \Delta t^2 + v_1 \cdot \Delta t + s_0
$$
Gilt nun noch, dass $t_0 = 0$ und $s_0 \neq 0$ ist, folgt:
$$
s(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2 + v_0 \cdot t + s_0 \\
v(t)= a \cdot t + v_0
$$
Mit diesen beiden Gleichungen lassen sich eigentlich alle Bewegungsaufgaben lösen, denn auch die gleichförmige Bewegung ist in ihnen enthalten. Bei der gleichförmigen Bewegung ist die Geschwindigkeit konstant, d.h. die Geschwindigkeitsänderung und damit die Beschleunigung ist Null. Damit entfällt der Term $\frac{1}{2}a \cdot t$ bzw. der Term $a \cdot t$.
Die ungleichförmigen Bewegungen werden auch nochmal unterteilt in den bis eben beschriebenen Fall der gleichmäßig beschleunigten Bewegung mit einer konstanten Beschleunigung $a$ und den Fall der ungleichmäßig beschleunigten Bewegung, bei der auch die Beschleunigung zeitabhängig ist, also $a(t)$ gilt.
Kreisbewegungen
Analog zu der Bewegung entlang einer Linie wird zunächst die Bewegung auf einer Kreisbahn beschrieben. Dafür sind einige neue und zusätzliche Begriffe und Größen notwendig. Die Ursache einer Kreisbewegung soll im Anschluss erläutert werden. Dies geschieht im Unterschied zu den geradlinigen Bewegungen, deren Ursache bzw. deren Veränderungen im Verlauf des Themas Kräfte besprochen werden.
Neben dem Begriff Zeit t werden die weiteren Größen aus der geradlinigen Bewegung etwas verändert dargestellt. Die Strecke s
bleibt häufig einfach die Strecke s, in manchen Fällen wird die bei einer Kreisbewegung zurückgelegte Strecke auch Bogen oder
Kreisbogen b genannt. Die Geschwindigkeit v wird meist als Bahngeschwindigkeit bezeichnet, ebenso die
Beschleunigung a als Bahnbeschleunigung.
Neue Größen oder Bezeichnungen sind der Radius r der Kreisbahn, die Dauer einer Bewegung auf einem Vollkreis, Umlaufzeit T,
die Anzahl von Umläufen pro Sekunde, Frequenz f, sowie die Strecke für einen Umlauf, den Umfang U.
Zunächst soll noch eine kleine Einschränkung gemacht werden: Die Bewegung auf der Kreisbahn erfolgt mit konstanter Bahngeschwindigkeit. Die Bewegung
wird dann als gleichförmige Kreisbewegung bezeichnet. Die Begriffe noch einmal aufgelistet und mit ihren Einheiten versehen:
$$
\text{Kreisbogen} \; b \\
[b] = 1 \; \text{m} \\
\\
\text{Bahngeschwindigkeit} \; v \\
[v] = 1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \\
\\
\text{Bahnbeschleunigung} \; a \\
[a] = 1 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \\
\\
\text{Radius} \; r \\
[r] = 1 \; \text{m} \\
\\
\text{Umlaufzeit} \; T \\
[T] = 1 \; \text{s} \\
\\
\text{Frequenz} \; f \\
[f] = 1 \; \text{Hz} \\
\\
\text{Winkelgeschwindigkeit} \; \omega \\
[\omega] = 1 \; \text{s}^{-1}
$$
Die Einheit der Frequenz lautet eigentlich $s^{-1}$, d.h. Anzahl von Umläufen pro Sekunde, wurde aber zu Ehren des Physikers
Heinrich Hertz nach diesem benannt: $1 Hz = 1 s^{-1}$.
Es gelten die folgenden Beziehungen:
\begin{align}
T = \frac{1}{f} \qquad &; \qquad f = \frac{1}{T} \\
U &= 2 \pi r \\
v = \frac{b}{t} = \frac{U}{T} &= \frac{2 \pi r}{T} = 2 \pi r f \\
\end{align}
Die neue Größe Winkelgeschwindigkeit bedarf einer näheren Beschreibung.
Dem Winkel $\alpha$ wird das Verhältnis von Kreisbogen und Radius zugeordnet.
$$
\alpha \; \rightarrow \; \frac{b}{r}
$$
Mit der Winkelgeschwindigkeit wird ausgedrückt, welcher Winkel $\alpha$ in einer Zeit $t$ überstrichen wird, also $\omega = \frac{\alpha}{t}$. Mit
der Zuordnung $\alpha \rightarrow \frac{b}{r}$ wird das zu: $\omega = \frac{b}{r \cdot t}$. Da es sich um eine gleichförmige Geschwindigkeit
handelt, also in jeder Zeiteinheit der selbe Winkel überstrichen wird, folgt:
$$
\omega = \frac{2 \pi}{T}
$$
oder alternativ
$$
\omega = 2 \pi f
$$
Aus der letzten Gleichung folgt, dass die Frequenz und die Winkelgeschwindigkeit (auch als Kreisfrequenz bezeichnet) die gleiche Einheit
haben. Im Unterschied zur Frequenz bleibt es bei $\omega$ bei der Einheit $s^{-1}$.
Für die Beziehung zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit folgt: \begin{align} v = 2 \pi r f \qquad &; \qquad \omega = 2 \pi f \\ v &= \omega \cdot r \end{align} Das Verhältnis Kreisbogen zu Radius ist ein anderer Ausdruck für den Winkel. Der Winkel wird in Grad (°) angegeben, $\frac{b}{r}$ ist eine einheitenlose Zahl und wird als Bogenmaß bezeichnet. Als Einheit dient der Radiant (rad). Aus dem Zusammenhang für den Vollkreis gilt: $$ 360° \hat{=} \; 2 \pi \text{ rad} $$
zur Ursache
Bei der Bewegung im Kreis muss man unterscheiden zwischen der Bewegung entlang der kreisförmigen Bahn und der Bewegung, die das Objekt immer
wieder auf die Kreisbahn zwingt.
Trägt man nicht die Geschwindigkeiten auf sondern den zurückgelegten Weg, erhält man die untenstehende Abbildung. Dort wird der Weg, den das Objekt
an dem Punkt $P_1$ im Zeitintervall $\Delta t$ zurücklegen würde, mit $s_1$ bezeichnet. Es ist zu beachten, dass die Bewegung entlang der Kreisbahn
gleichförmig ist.
$s_R$ ist die Bezeichnung für den dann notwendigen Weg
zurück auf die Kreisbahn. Die Richtung von $s_R$ ist senkrecht zur Kreisbahn bzw. genau auf den Kreismittelpunkt. Da es sich hier um eine
Richtungsänderung der Bewegung handelt, ist diese Bewegung eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Werden die beiden eingezeichneten Wege jeweils ergänzt durch den Radius des Kreises ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck. Für dieses muss der Satz
des Pythagoras gelten, also:
$$
r^2 + \left( v_1 \cdot \Delta t \right)^2 = \left( r + \frac{1}{2} a_R \cdot \Delta t^2 \right)^2
$$
Rechts von Gleichheitszeichen steht eine binomische Formel. Multipliziert man diese aus, erhält man den folgenden Ausdruck:
$$
r^2 + v_1^2 \cdot \Delta t^2 = r^2 + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{2} a_R \cdot \Delta t^2 + \frac{1}{4} a_R^2 \cdot \Delta t^4
$$
Nun macht man es sich relativ einfach, denn man sagt: "Da eine Bewegung auf einer Kreisbahn nicht in einem Sägezahnmuster abläuft, sondern
eine kontinuierliche Bewegung ist, wird der Bewegungsanteil $s_1$ sehr klein sein. Damit muss aber $\Delta t$ sehr klein sein. Und wenn $\Delta t$
schon sehr klein ist, dann ist es $\Delta t^4$ erst recht."
Mit diesem Argument kann man den Term $\frac{1}{4} a_R^2 \cdot \Delta t^4$ vernachlässigen. Dann erhält man:
\begin{align}
r^2 + v_1^2 \cdot \Delta t^2 & = r^2 + 2 \cdot r \cdot \frac{1}{2} a_R \cdot \Delta t^2 \\
v_1^2 \cdot \Delta t^2 & = r \cdot a_R \cdot \Delta t^2 \\
a_R & = \frac{v_1^2}{r}
\end{align}
Da die Bedingung für $a_R$ natürlich zu jedem Zeitpunkt und für jeden Punkt auf der Kreisbahn gilt, folgt:
$$
a_R = \frac{v^2}{r} \quad \text{oder} \quad a_Z = \frac{v^2}{r}
$$
Diese Größe nennt man Radialbeschleunigung oder Zentripetalbeschleunigung und ist notwendig, wenn es eine Kreisbewegung geben soll. Die Einheit ist
wie bei der (Bahn-)Beschleunigung Meter pro Sekunde zum Quadrat.
$$
\text{Radialbeschleunigung} \; a_R \\
\text{Zentripetalbeschleunigung} \; a_Z \\
[a_Z] = 1 \; \frac{ \text{m}}{ \text{s}^2}
$$
Nach dem zweiten Newtonschen Axiom gilt:
$$
F = m \cdot a
$$
Mit der Zentripetalbeschleunigung $a_Z$ gibt es also eine Zentripetalkraft $F_Z$ (bzw. eine Zentralkraft oder Radialkraft), für die gilt:
$$
F_Z = m \cdot a_Z
$$
Also:
$$
\text{Zentripetalkraft} \; F_Z \\
[F_Z] = 1 \; \text{N}
$$
Wie schon bei der Zentripetalbeschleunigung ist die Zentripetalkraft notwendig, damit eine Kreisbewegung stattfinden kann.