Anwendungen der Vektorrechnung

Geometrie (Quader)

Gegeben ist ein Quader mit den Eckpunkten $$ A \left( 3 \mid 2 \mid -1 \right) \\ B \left( 3 \mid 4 \mid -2 \right) \\ C \left( 3 \mid 4 \mid 3 \right) \\ D \left( 3 \mid 6 \mid 2 \right) \\ E \left( -1 \mid 2 \mid -1 \right) \\ F \left( -1 \mid 4 \mid -2 \right) \\ G \left( -1 \mid 4 \mid 3 \right) \\ H \left( -1 \mid 6 \mid 2 \right) $$

Bestimmen Sie die Geradengleichung der Geraden $g$, die durch den Mittelpunkt der Strecke $\overline{CG}$ und dem Mittelpunkt der Fläche $BDHF$ verläuft.

Für den Mittelpunkt der Strecke $\overline{CG}$ werden jeweils der Mittelpunkt der $x_1$-, $x_2$- und $x_3$-Werte benötigt. Das führt zu dem Ansatz: $$ \vec m_{CG} = \frac{\vec c + \vec g}{2} = \frac12 \cdot \left( \vec c + \vec g \right) $$ Der gleiche Ansatz entsteht, wenn man vom Ursprung zum Punkt $C$ geht (Ortsvektor $\vec c$) und dann die Hälfte des Vektors $\overrightarrow{CG}$ addiert. \begin{align} \vec m_{CG} &= \vec c + \frac12 \cdot \overrightarrow{CG} \\ \\ \vec m_{CG} &= \vec c + \frac12 \cdot \left( \vec g - \vec c \right) \\ \\ \vec m_{CG} &= \vec c + \frac12 \cdot \vec g - \frac 12 \cdot \vec c \\ \\ \vec m_{CG} &= \frac12 \cdot \vec c + \frac12 \cdot \vec g \\ \\ \vec m_{CG} &= \frac12 \cdot \left( \vec c + \vec g \right) \end{align} Der Mittelpunkt der Strecke $\overline{CG}$ hat den Ortsvektor $\vec m_{CG} = \left( \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right)$.

Der Mittelpunkt der Fläche $BDHF$ lässt sich herausfinden, indem man beachtet, dass es sich um ein Quader handelt. EIn Quader hat rechteckige Seitenflächen. Also ist auch die Fläche $BDHF$ ein Rechteck. Der Flächenmittelpunkt eines Rechtecks ist auch der Mittelpunkt zweier gegenüberliegender Eckpunkte, z.B. der Punkte $D$ und $F$. Der Mittelpunkt zwischen den beiden Punkten folgt aus $\vec m_{DF} = \frac12 \left( \vec d + \vec f \right)$.
Der Ortsvektor des Flächenmittelpunkts lautet somit: $\vec m_{DF} = \left( \begin{array}{} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right)$.

Mit dem Mittelpunkt der Strecke $\overline {CG}$ als Stützvektor und dem Verbindungsvektor zwischen $\vec m_{CG}$ und $\vec m_{DF}$ als Richtungsvektor kann man die Geradengleichung aufstellen: \begin{align} g: \vec x &= \vec m_{CG} + r \cdot \left( \vec m_{DF} - \vec m_{CG} \right) \\ \\ g: \vec x &= \left( \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) + r \cdot \left( \left( \begin{array}{} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \right) \\ \\ g: \vec x &= \left( \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) \end{align}

Berechnen Sie die Länge der Strecke, die die Gerade durch den Quader verläuft.

Die gesuchte Strecke ist der Abstand der beiden ermittelten Mittelpunkte bzw. die Länge des Verbindungsvektors der beiden Punkte: \begin{align} s &= \left\vert \left( \left( \begin{array}{} 1 \\ 5 \\ 0 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} 1 \\ 4 \\ 3 \end{array} \right) \right) \right\vert \\ \\ s &= \left\vert \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ -3 \end{array} \right) \right\vert \\ \\ s &= \sqrt{0^2 + 1^2 + (-3)^2} \\ \\ s &= \sqrt{10} \end{align} Die Strecke, die die Gerade durch den Quader verläuft, hat also die Länge von etwa 3,16 LE.

Abstand eines Punktes von einer Geraden

Gegeben ist ein Punkt und eine Gerade: $$ P (2 \mid 1 \mid -1) \\ g: \vec x = \left( \begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) $$

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes $P$ von der Geraden $g$.

Der Abstand eines Punktes von der Geraden ist der kleinste Wert, den ein Verbindungsvektor von $P$ zu einem beliebigen Punkt $X$ auf $g$ annehmen kann. Aus der Skizze wird das deutlich. Hier sind drei verschiedene Punkte $X_1$, $X_2$ und $X_3$ der Geraden eingezeichnet. Die Verbindungevektoren zwischen dem Punkt $P$ und den Punkten $X_n$ der Geraden haben unterschiedliche Längen, je nach Lage des Punktes $X$. Der kürzeste Verbindungsvektor ist derjenige, der senkrecht auf dem Richtungsvektor $\vec u$ der Geraden steht.

Als Ansatz für den kürzesten Verbindungsvektor $\overrightarrow{PX}$ gilt damit \begin{align} \vec u \cdot \overrightarrow{PX} = 0 \end{align} Mit $\vec u = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right)$ und $\overrightarrow{PX} = \vec x - \vec p = \left( \begin{array}{} 1 + r \cdot 0 - 2 \\ 1 + r \cdot 0 - 1 \\ 1 + r \cdot 4 - (-1) \end{array} \right)$ folgt für den Ansatz: \begin{align} \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} 1 + r \cdot 0 - 2 \\ 1 + r \cdot 0 - 1 \\ 1 + r \cdot 4 - (-1) \end{array} \right) &= 0 \\ \\ \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} -1 \\ 0 \\ 2 + 4r \end{array} \right) &= 0 \\ \\ 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 4 \cdot (2 + 4r) &= 0 \\ \\ 8 + 16 r &= 0 \\ \\ r &= - \frac 12 \end{align} Mit dem Wert für $r$ erhält man den Punkt $X$ der Geraden, der den kürzesten Abstand zum Punkt $P$ hat. Den Ortsvektor des Punktes ist damit: \begin{align} \vec x &= \left( \begin{array}{} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + \left(- \frac 12 \right) \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ 4 \end{array} \right) \\ \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \end{align} Mit dem Abstand $d$ des Punktes von der Geraden folgt: \begin{align} d &= \vert \overrightarrow{PX} \vert \\ \\ d &= \vert \vec x - \vec p \vert \\ \\ d &= \left\vert \left( \begin{array}{} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) \right\vert \\ \\ d &= \left\vert \left( \begin{array}{} -1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right\vert \\ \\ d &= \sqrt{(-1)^2} \\ \\ d &= 1 \end{align} Der Abstand beträgt also genau eine Längeneinheit: $d = 1 \text{ LE}$.