Ebenengleichung in der Koordinatenform

Mit den Koeffizienten $a$, $b$, $c$ und $d$ erhält man die Ebenengleichung in Koordinatenform. $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$ Diese Darstellungsform enthält keine Vektoren. Die Bestandteile eines beliebigen Punktes der Ebene, bzw. dessen Ortsvektor, äußern sich in den $x_1$, $x_2$ und $x_3$-Zahlen.
Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ sind die Bestandteile des zur Ebene gehörenden Normalenvektors. Es gilt: $$ \vec n = \left( \begin{array}{} a \\ b \\ c \end{array} \right) $$ Der Quotient aus dem Betrag von $d$ und dem Betrag von $\vec n$ entspricht dem Abstand der Ebene vom Koordinatenursprung.

Spezialfälle

Gilt $a = 0$, verläuft die Ebene parallel zur $x_1$-Achse, für $b = 0$ verläuft sie parallel zur $x_2$-Achse und für $c = 0$ parallel zur $x_3$-Achse.
Mit $d = 0$ gilt, dass die Ebene durch den Koordinatenursprung verläuft (Ursprungsebene).
Für $d = 1$ liegt die Ebene in der sogenannten Achsenabschnittsform vor. Die Spurpunkte der Ebene sind dann \begin{align} x_1-Achse&: \left( \begin{array}{} \frac{1}{a} \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \\ x_2-Achse&: \left( \begin{array}{} 0 \\ \frac{1}{b} \\ 0 \end{array} \right) \\ x_3-Achse&: \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{1}{c} \end{array} \right) \\ \end{align}