Kettenregel

Eine Verkettung von Funktionen liegt dann vor, wenn das Argument der einen Funktion wieder eine Funktion ist. Man würde dann z.B. schreiben: $$ f(g(x)) $$ sprich: "f von g von x"
Hier ist eine sogenannte äußere Funktion $f$ und eine sogenannte innere Funktion $g$ gegeben. Die Variable $x$ wird zunächst in die innere Funktion eingesetzt: $g(x)$. Der Funktionswert $g(x)$ wird nun in die äußere Funktion eingesetzt: $f(g(x))$.
Schwierigkeiten kann es unter Umständen bereiten, äußere und innere Funktion, bzw. überhaupt die Verkettung zweier Funktionen zu erkennen.

Das Erkennen von verketteten Funktionen gelingt am Besten, wenn man bestimmte Muster erkennt. Wird z.B. ein Klammerausdruck potenziert, handelt es sich um eine verkettete Funktion. Eine $e$-Funktion ist eine verkettete Funktion, ebenso trigonometrische, Wurzel- oder Logarithmusfunktionen.

Funktionstyp	Beispiel
potenzierte Klammern	$(2x + 3)^3$
$e$-Funktionen	$e^{- \frac{1}{3}x}$
Wurzelfunktionen	$\sqrt{x^2 - 5 x + 2}$
Logarithmusfunktionen	$\log_b (0,5 x + 1)$
trigonometrische Funktionen	$\sin ( 2 x + \pi)$

Die Ableitung einer verketteten Funktion

Die Ableitungsfunktion von $f(x)$ wird im Allgemeinen als $f'(x)$ geschrieben, man kann dafür aber auch $\frac{dy}{dx}$ schreiben.
Wenn man die innere Funktion $g(x)$ durch $z$ substituiert, erhält man als Funktion $f(z)$ und als Ableitung $\frac{dy}{dz}$. Um auf $\frac{dy}{dx}$ zu kommen, muss man den Differentialquotienten $\frac{dy}{dz}$ mit $\frac{dz}{dx}$ multiplizieren. Das aber ist die Ableitung der inneren Funktion $z$. \begin{align} \frac{dy}{dx} &= \frac{dy}{dz} \cdot \frac{dz}{dx} \\ \\ (f(g(x)))' &= f'(z) \cdot g'(x) \\ \end{align} Merksatz: Die Ableitung einer verketteten Funktion erhält man durch "äußere Ableitung mal innere Ableitung".

Beispiele

\begin{align} f(g(x)) &= (2x + 3)^3 \end{align} Substituiert wird $z = 2x + 3$. Damit ist die äußere Funktion $f(z) = z^3$ und die innere Funktion $g(x) = 2 x + 3$.
Für die Ableitungen der äußeren bzw. der inneren Funktion ergibt sich: $$ f'(z) = 3 z^2 \; \land \; g'(x) = 2 $$ Damit folgt für die gesamte Ableitungsfunktion: \begin{align} \left(f(z) \right)' &= 3 z^2 \cdot 2 \\ \left(f(g(x)) \right)' &= 3 (2x + 3)^2 \cdot 2 \\ \left(f(g(x)) \right)' &= 6 (2x + 3)^2 \end{align}

\begin{align} f(g(x)) &= \left(\frac12 x - 1\right)^2 \\ z = \frac 12 x - 1 \\ f(z) = z^2 &\land g(x) = \frac 12 x - 1 \\ f'(z) = 2 z &\land g'(x) = \frac 12 \\ \left(f(z) \right)' &= 2 z \cdot \frac 12 \\ \left(f(g(x)) \right)' &= 2 \left(\frac 12x - 1\right) \cdot \frac 12 \\ \left(f(g(x)) \right)' &= \frac 12x - 1 \end{align}

\begin{align} f(g(x)) &= \left(3 x^2 - x + 1\right)^4 \\ \left(f(g(x)) \right)' &= 4 \left(3 x^2 - x + 1\right)^3 \cdot \left( 6 x - 1 \right) \\ \left(f(g(x)) \right)' &= \left( 24 x - 4 \right) \cdot \left(3 x^2 - x + 1\right)^3 \end{align}

\begin{align} f(x) &= \left(6 x + 2\right)^3 \\ f'(x) &= 3 \left(6 x + 2 \right)^2 \cdot 6 \\ f'(x) &= 18 \left(6 x + 2 \right)^2 \end{align}

\begin{align} f(x) &= e^{- \frac 13 x} \\ z = - \frac 13 x \; &\land \; f(z) = e^z \\ f'(x) &= e^{- \frac 13 x} \cdot \left( - \frac 13 \right) \\ f'(x) &= - \frac 13 \cdot e^{- \frac 13 x} \end{align}

\begin{align} f(x) &= e^{- 2 x} \\ z = - 2 x \; &\land \; f(z) = e^z \\ f'(x) &= e^{- 2 x} \cdot \left( - 2 \right) \\ f'(x) &= - 2 \cdot e^{- 2 x} \end{align}

\begin{align} f(x) &= e^{3 x^2} \\ z = 3 x^2 \; &\land \; f(z) = e^z \\ f'(x) &= e^{3 x^2} \cdot 6 x \\ f'(x) &= 6 x \cdot e^{3 x^2} \end{align}

\begin{align} f(x) &= \sqrt{x^2 - 5 x + 2} \\ z = x^2 - 5 x + 2 \; &\land \; f(z) = \sqrt{z} = z^{\frac 12} \\ f'(x) &= \frac 12 (x^2 - 5 x + 2)^{- \frac 12} \cdot (2 x - 5) \\ f'(x) &= \left( x - \frac 52 \right) \cdot (x^2 - 5 x + 2)^{- \frac 12} \end{align}

\begin{align} f(x) &= \sqrt{3 x - 2} \\ z = 3 x - 2 \; &\land \; f(z) = \sqrt{z} = z^{\frac 12} \\ f'(x) &= \frac 12 (3 x - 2)^{- \frac 12} \cdot 3 \\ f'(x) &= \frac 32 \cdot (3 x - 2)^{- \frac 12} \end{align}

\begin{align} f(x) &= \sin (2 x + \pi) \\ z = 2 x + \pi \; &\land \; f(z) = \sin (z) \\ f'(x) &= \cos (2 x + \pi ) \cdot 2 \\ f'(x) &= 2 \cos (2 x + \pi) \end{align}

\begin{align} f(x) &= \log_b (0,5 x + 1) \\ z = 0,5 x + 1 \; &\land \; f(z) = \log_b (z) \\ f'(x) &= \frac{1}{(0,5 x + 1) \cdot \ln b} \cdot 0,5 \\ f'(x) &= \frac{1}{(0,5 x + 1) \cdot 2 \ln b} \end{align}