Umrechnungen von einer in eine andere Form



1: von der Parameterform in die Normalenform

Gegeben ist eine Ebene $E$ in ihrer Parameterform: $$ \boldsymbol{E: \vec x = \vec a + s \cdot \vec u + t \cdot \vec v}\qquad ; \qquad s,t \in \mathbb{R} $$ Der für die Normalenform benötigte Normalenvektor entsteht aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: $$ \vec u \times \vec v = \vec n $$ So folgt die Darstellung der Ebene $E$ in ihrer Normalenform: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \vec a \right) \cdot \vec n = 0} $$



Beispielebene

Mit den drei Punkten $A (2 / 1 / 1)$, $B (3 / -1 / -2)$ und $C (0 / 4 / -1)$ wird die Ebene $E$ aufgespannt. \begin{align} E: \vec x &= \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 3 - 2 \\ -1 - 1 \\ -2 - 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 - 2 \\ 4 - 1 \\ -1 - 1 \end{array} \right) \\ E: \vec x &= \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} - 2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \end{align} Das ist die Ebene $E$ in der Drei-Punkte-, bzw. in der Parameterform.

Der Normalenvektor $\vec n$ der Ebene ergibt sich aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren: \begin{align} \vec n &= \left( \begin{array}{} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{} -2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \\ \vec n &= \left( \begin{array}{} -2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-3) \\ -3 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-2) \end{array} \right) \\ \vec n &= \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) \end{align} So folgt die Normalenform: $$ E: \left[ \vec x - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) = 0 $$



2: von der Normalenform in die Koordinatenform

Eine Ebene $E$ liegt in ihrer Normalenform vor: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \vec a \right) \cdot \vec n = 0} $$ Durch Ausmultiplizieren der Klammer erhält man: $$ \vec x \cdot \vec n - \vec a \cdot \vec n = 0 $$ Die jeweiligen Skalarprodukte werden aufgeschrieben: \begin{align} x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + x_3 \cdot n_3 - \left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) &= 0 \\ \\ n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 &= \left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) \end{align} Mit $n_1 = a$, $n_2 = b$ und $n_3 = c$, sowie $\left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) = d$ folgt die Koordinatenform der Ebene $E$: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$



Beispielebene

$$ E: \left[ \vec x - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) = 0 $$ Ausmultiplizieren liefert: \begin{align} \vec x \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) &= 0 \\ \left( \begin{array}{} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) &= 0 \\ 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 - \left( 2 \cdot 13 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot (-1) \right) &= 0 \\ 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 - 33 &= 0 \\ 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 &= 33 \end{align} Die Koordinatenform: $$ E: 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 = 33 $$


3: von der Koordinatenform in die Parameterform

Die Ebene $E$ liegt in ihrer Koordinatenform vor: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$ Die Gleichung wird nach $x_3$ umgeformt: \begin{align} x_3 &= \frac{d - a \cdot x_1 - b \cdot x_2}{c} \\ \\ x_3 &= \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot x_1 - \frac{b}{c} \cdot x_2 \end{align} Desweiteren wird \begin{align} x_1 &= s \\ x_2 &= t \end{align} gesetzt. Damit erhält man für den Vektor $\vec x$ die folgenden Gleichungen: \begin{align} \vec x &= \left( \begin{array}{} s \\ t \\ \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot x_1 - \frac{b}{c} \cdot x_2 \end{array} \right) \\ \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} s \\ t \\ \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot s - \frac{b}{c} \cdot t \end{array} \right) \\ \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} 0 + s \cdot 1 + t \cdot 0 \\ 0 + s \cdot 0 + t \cdot 1 \\ \frac{d}{c} - s \cdot \frac{a}{c} - t \cdot \frac{b}{c} \end{array} \right) \end{align} Die allgemeine Parameterform lautet: $$ \vec x = \left( \begin{array}{} a_1 + s \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\ a_2 + s \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\ a_3 + s \cdot u_3 + t \cdot v_3 \end{array} \right) $$ Durch den direkten Vergleich der beiden Gleichungen erhält man für den Vektor $\vec a$: $$ \vec a = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) $$ Für die Richtungsvektoren erhält man entsprechend: $$ \vec u = \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ - \frac{a}{c} \end{array} \right) \qquad \vec v = \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ - \frac{b}{c} \end{array} \right) $$ Damit liegt die Ebene $E$ in ihrer Parameterform vor: $$ \boldsymbol{E: \vec x = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ - \frac{a}{c} \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ - \frac{b}{c} \end{array} \right)} $$



Beispielebene

$$ E: 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 = 33 $$ Umstellen nach $x_3$: $$ x_3 = - 33 + 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 $$ Mit $x_1 = s$ und $x_2 = t$ erhält man für die Parameterform: \begin{align} \vec x &= \left( \begin{array}{} s \\ t \\ - 33 + 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 \end{array} \right) \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} 0 + 1 \cdot s + 0 \cdot t \\ 0 + 0 \cdot s + 1 \cdot t \\ - 33 + 13 \cdot s + 8 \cdot t \end{array} \right) \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ -33 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ 13 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 8 \end{array} \right) \end{align} Damit hat man die Ebene wieder in der Parameterform: $$ E: \vec x = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ -33 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ 13 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ 8 \end{array} \right) $$


4: von der Normalenform in die Parameterformform


Hier wird der Umweg über die Koordinatenform gemacht. Also erst Umformung 2 und dann Umformung 3.


5: von der Koordinatenform in die Normalenform


Die Ebene $E$ in ihrer Koordinatenform: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$ Die Parameter $a$, $b$ und $c$ sind die Komponenten des Normalenvektors $\vec n$. $$ \vec n = \left( \begin{array}{} a \\ b \\ c \end{array} \right) $$ Für einen beliebigen Punkt $D$ der Ebene werden in der Koordinatenform die Komponenten $x_1$ und $x_2$ gleich $Null$ gesetzt. Daraus folgt die Komponente $x_3$: \begin{align} a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot x_3 &= d \\ x_3 &= \frac{d}{c} \end{align} Eigentlich ist es egal, welche Werte man für $x_1$ und $x_2$ einsetzt. Es entstehen dann entsprechend andere Punkte in der Ebene, die aber natürlich alle richtig sind. Wegen der Einfachheit bei der Rechnung wählt man geschickterweise aber die $Null$. Hier folgt die Normalenform: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{} a \\ b \\ c \end{array} \right) = 0} $$



Beispielebene

$$ E: 13 \cdot x_1 + 8 \cdot x_2 - x_3 = 33 $$ Der Normalenvektor ist: $$ \vec n = \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) $$ Der (beliebige) Punkt $D$ hat die Koordinaten: $$ D \left( 0 / 0 / -33 \right) $$ Damit folgt die Normalenform: $$ E: \left( \vec x - \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ -33 \end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) = 0 $$


6: von der Parameterform in die Koordinatenform


Hier wird der Umweg über die Normalenform gemacht: Erst Umformung 1, dann Umformung 2.



Bemerkenswerterweise entstehen durch die einzelnen Umformungen unterschiedliche Parameterformen und auch die anderen Formen sind variabel. Das liegt daran, dass eine Ebene aus zwei beliebigen Vektoren gebildet werden kann, die lediglich linear unabhängig sein müssen. Auch die Wahl eines Stützpunktes der Ebene ist frei. Jeder Punkt ist geeignet. Das eröffnet eine unendliche Anzahl von möglichen Darstellungsformen einer Ebene.
Wenn man sich unsicher ist, ob die Umformung gelungen ist, muss man die Gleichheit der Ebenenformen mithilfe einer Punktprobe und der Untersuchung der linearen Abhängigkeit, bzw. der Untersuchung über die Orthogonalität des Normalenvektors überprüfen.


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