Gegeben ist eine Ebene $E$ in ihrer Parameterform: $$ \boldsymbol{E: \vec x = \vec a + s \cdot \vec u + t \cdot \vec v}\qquad ; \qquad s,t \in \mathbb{R} $$ Der für die Normalenform benötigte Normalenvektor entsteht aus dem Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren: $$ \vec u \times \vec v = \vec n $$ So folgt die Darstellung der Ebene $E$ in ihrer Normalenform: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \vec a \right) \cdot \vec n = 0} $$
Mit den drei Punkten $A (2 / 1 / 1)$, $B (3 / -1 / -2)$ und $C (0 / 4 / -1)$ wird die Ebene $E$ aufgespannt.
\begin{align}
E: \vec x &= \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 3 - 2 \\ -1 - 1 \\ -2 - 1 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 - 2 \\ 4 - 1 \\ -1 - 1 \end{array} \right) \\
E: \vec x &= \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} - 2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right)
\end{align}
Das ist die Ebene $E$ in der Drei-Punkte-, bzw. in der Parameterform.
Der Normalenvektor $\vec n$ der Ebene ergibt sich aus dem Vektorprodukt der Richtungsvektoren:
\begin{align}
\vec n &= \left( \begin{array}{} 1 \\ -2 \\ -3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{} -2 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \\
\vec n &= \left( \begin{array}{} -2 \cdot (-2) - 3 \cdot (-3) \\ -3 \cdot (-2) - (-2) \cdot 1 \\ 1 \cdot 3 - (-2) \cdot (-2) \end{array} \right) \\
\vec n &= \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right)
\end{align}
So folgt die Normalenform:
$$
E: \left[ \vec x - \left( \begin{array}{} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) \right] \cdot \left( \begin{array}{} 13 \\ 8 \\ -1 \end{array} \right) = 0
$$
Eine Ebene $E$ liegt in ihrer Normalenform vor: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \vec a \right) \cdot \vec n = 0} $$ Durch Ausmultiplizieren der Klammer erhält man: $$ \vec x \cdot \vec n - \vec a \cdot \vec n = 0 $$ Die jeweiligen Skalarprodukte werden aufgeschrieben: \begin{align} x_1 \cdot n_1 + x_2 \cdot n_2 + x_3 \cdot n_3 - \left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) &= 0 \\ \\ n_1 \cdot x_1 + n_2 \cdot x_2 + n_3 \cdot x_3 &= \left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) \end{align} Mit $n_1 = a$, $n_2 = b$ und $n_3 = c$, sowie $\left( a_1 \cdot n_1 + a_2 \cdot n_2 + a_3 \cdot n_3 \right) = d$ folgt die Koordinatenform der Ebene $E$: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$
Die Ebene $E$ liegt in ihrer Koordinatenform vor: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$ Die Gleichung wird nach $x_3$ umgeformt: \begin{align} x_3 &= \frac{d - a \cdot x_1 - b \cdot x_2}{c} \\ \\ x_3 &= \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot x_1 - \frac{b}{c} \cdot x_2 \end{align} Desweiteren wird \begin{align} x_1 &= s \\ x_2 &= t \end{align} gesetzt. Damit erhält man für den Vektor $\vec x$ die folgenden Gleichungen: \begin{align} \vec x &= \left( \begin{array}{} s \\ t \\ \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot x_1 - \frac{b}{c} \cdot x_2 \end{array} \right) \\ \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} s \\ t \\ \frac{d}{c} - \frac{a}{c} \cdot s - \frac{b}{c} \cdot t \end{array} \right) \\ \\ \vec x &= \left( \begin{array}{} 0 + s \cdot 1 + t \cdot 0 \\ 0 + s \cdot 0 + t \cdot 1 \\ \frac{d}{c} - s \cdot \frac{a}{c} - t \cdot \frac{b}{c} \end{array} \right) \end{align} Die allgemeine Parameterform lautet: $$ \vec x = \left( \begin{array}{} a_1 + s \cdot u_1 + t \cdot v_1 \\ a_2 + s \cdot u_2 + t \cdot v_2 \\ a_3 + s \cdot u_3 + t \cdot v_3 \end{array} \right) $$ Durch den direkten Vergleich der beiden Gleichungen erhält man für den Vektor $\vec a$: $$ \vec a = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) $$ Für die Richtungsvektoren erhält man entsprechend: $$ \vec u = \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ - \frac{a}{c} \end{array} \right) \qquad \vec v = \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ - \frac{b}{c} \end{array} \right) $$ Damit liegt die Ebene $E$ in ihrer Parameterform vor: $$ \boldsymbol{E: \vec x = \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{} 1 \\ 0 \\ - \frac{a}{c} \end{array} \right) + t \cdot \left( \begin{array}{} 0 \\ 1 \\ - \frac{b}{c} \end{array} \right)} $$
Hier wird der Umweg über die Koordinatenform gemacht. Also erst Umformung 2 und dann Umformung 3.
Die Ebene $E$ in ihrer Koordinatenform: $$ \boldsymbol{E: a \cdot x_1 + b \cdot x_2 + c \cdot x_3 = d} $$ Die Parameter $a$, $b$ und $c$ sind die Komponenten des Normalenvektors $\vec n$. $$ \vec n = \left( \begin{array}{} a \\ b \\ c \end{array} \right) $$ Für einen beliebigen Punkt $D$ der Ebene werden in der Koordinatenform die Komponenten $x_1$ und $x_2$ gleich $Null$ gesetzt. Daraus folgt die Komponente $x_3$: \begin{align} a \cdot 0 + b \cdot 0 + c \cdot x_3 &= d \\ x_3 &= \frac{d}{c} \end{align} Eigentlich ist es egal, welche Werte man für $x_1$ und $x_2$ einsetzt. Es entstehen dann entsprechend andere Punkte in der Ebene, die aber natürlich alle richtig sind. Wegen der Einfachheit bei der Rechnung wählt man geschickterweise aber die $Null$. Hier folgt die Normalenform: $$ \boldsymbol{E: \left( \vec x - \left( \begin{array}{} 0 \\ 0 \\ \frac{d}{c} \end{array} \right) \right) \cdot \left( \begin{array}{} a \\ b \\ c \end{array} \right) = 0} $$
Hier wird der Umweg über die Normalenform gemacht: Erst Umformung 1, dann Umformung 2.
Bemerkenswerterweise entstehen durch die einzelnen Umformungen unterschiedliche Parameterformen und auch die anderen Formen sind variabel. Das liegt
daran, dass eine Ebene aus zwei beliebigen Vektoren gebildet werden kann, die lediglich linear unabhängig sein müssen. Auch die Wahl eines
Stützpunktes der Ebene ist frei. Jeder Punkt ist geeignet. Das eröffnet eine unendliche Anzahl von möglichen Darstellungsformen einer Ebene.
Wenn man sich unsicher ist, ob die Umformung gelungen ist, muss man die Gleichheit der Ebenenformen
mithilfe einer Punktprobe und der Untersuchung der linearen Abhängigkeit, bzw. der Untersuchung über die Orthogonalität des Normalenvektors überprüfen.
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