Ein Bruch ist eine Darstellung, bei der eine Gesamtmenge in eine bestimmte Anzahl gleichgroßer Teile aufgeteilt wird und davon eine andere Anzahl von Teilen betrachtet wird. Mit dem beliebten Beispiel des Kuchens heißt das, dass ein Kuchen in 12 gleichgroße Kuchenstücke aufgeteilt wird und anschließend werden davon 8 Stücke gegessen. Insgesamt wurden also 8 von 12 Stücken gegessen. Schreibweise: $$ \frac{8}{12} $$ Dabei wird der obere Wert als Zähler, $Z$, bezeichnet und der untere Wert als Nenner, $N$. Die Trennung zwischen den beiden Werten erfolgt durch einen waagerechten Strich. Also $$ \frac{Zähler}{Nenner} \qquad \rightarrow \qquad \frac{Z}{N} $$ Die Bedeutung des Bruchs wäre etwa Anteile vom Ganzen.
Eine andere Deutung wäre z.B., eine Anzahl von Teilen auf eine andere Anzahl gleichmäßig zu verteilen (Aufteilung des Ganzen). Es sollen beispielsweise 12 Kuchenstücke gleichmäßig auf 4 Personen verteilt werden. Die Schreibweise wäre $$ \frac{12}{4} $$
Ein Bruch kann auch immer eine Divisionsaufgabe sein. Man muss dann den Zähler durch den Nenner teilen: $$ Z : N = \frac{Z}{N} $$
Brüche lassen sich in drei Klassen aufteilen: \begin{align} 1. &\; \text{echte Brüche} :& \; & N > Z \\ 2. &\; \text{unechte Brüche} :& \;& Z \ge N \\ 3. &\; \text{ gemischte Brüche} && \end{align} Wenn bei einem unechten Bruch der Zähler ein ganzzahliges Vielfaches des Nenners ist, handelt es sich um einen Scheinbruch. Gemischte Brüche sind unechte Brüche, die kein Scheinbruch sind. Sie lassen sich durch eine ganze Zahl und einen echten Bruch darstellen.
Echte Brüche: \begin{align} \frac{1}{2} \qquad \frac{4}{7} \qquad \frac{2}{100} \end{align} Unechte Brüche: \begin{align} \frac{3}{2} \qquad \frac{5}{3} \qquad \frac{5}{5} \end{align} Gemischte Brüche: \begin{align} 2 \frac{1}{2} \qquad 4\frac{1}{3} \qquad 7 \frac{3}{5} \end{align}
Achtung:
Die Schreibweise der gemischten Brüche bedeutet, im ersten Beispiel, zwei Ganze und Eins von Zweien, also $2 + \frac{1}{2}$. Bei dem
Umgang mit Termen wird diese Schreibweise meist mit einer Multiplikation gleichgesetzt, also $ 2 \cdot \frac{1}{2}$. Das ist hier falsch!
$$
2 \frac{1}{2} = 2 + \frac{1}{2} \\
4 \frac{1}{3} = 4 + \frac{1}{3} \\
7 \frac{3}{5} = 7 + \frac{3}{5}
$$
Brüche bilden die Menge der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$, während sowohl der Zähler als auch der Nenner aus der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ stammt.
Eine andere Darstellungsform von Brüchen, die aber nicht als Brüche im eigentlichen Sinne gelten, insbesondere auch die Rechnung mit ihr nicht als
Bruchrechnung, sind die Dezimalbrüche oder Dezimalzahlen. Sie entstehen, indem man die Brüche als Division ausführt. Das Ergebnis
ist dann die Dezimalzahl oder der Dezimalbruch.
Beispiel:
\begin{align}
\frac{3}{5} = 3 : 5 = 0,6
\end{align}
$\frac{3}{5}$ ist der (echte) Bruch, $0,6$ ist der Dezimalbruch.
Bei einem echten Bruch ist der Dezimalbruch kleiner als Eins, beim unechten Bruch größer oder gleich Eins. Insbesondere gilt:
$$
\frac{Z}{N} = 1 \; , \; \text{wenn} \; Z = N
$$
Brüche können mit beliebigen Zahlen $c \in \mathbb{R}$ erweitert werden. Damit ist gemeint, dass Zähler und Nenner mit dieser Zahl multipliziert werden können. $$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $$ Brüche können gekürzt werden, indem Zähler und Nenner durch eine geeignete Zahl $c \in \mathbb{R}$ dividiert werden. $$ \frac{8}{12} = \frac{8 : 4}{12 : 4} = \frac{2}{3} $$ Welche Zahl geeignet ist, entscheidet die Aufgabenstellung. Im Allgemeinen ist es der größte gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner.
Brüche werden addiert bzw. subtrahiert, indem man beide vorliegenden Brüche so erweitert oder kürzt, dass alle den gleichen Nenner aufweisen (gemeinsamer Nenner). Im Anschluss werden die Zähler einfach addiert / subtrahiert. Der (gemeinsame) Nenner bleibt konstant. $$ \frac{1}{2} + \frac{3}{7} = \frac{7}{14} + \frac{6}{14} = \frac{7 + 6}{14} = \frac{13}{14} $$ $$ \frac{4}{5} - \frac{3}{2} = \frac{8}{10} - \frac{15}{10} = \frac{8 - 15}{10} = \frac{- 7}{10} = - \frac{7}{10} $$
Die Multiplikation von Brüchen erfolgt Zähler- und Nennerweise, d.h. alle Zähler werden miteinander multipliziert, ebenso alle Nenner. $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} \left( = \frac{1}{4} \right) $$ (In diesem Beispiel könnte man auch im zweiten Schritt mit $3$ kürzen und erhielte sofort die Lösung $\frac{1}{4}$.)
Für jeden Bruch kann der jeweilige Zähler als Scheinbruch $\frac{Z}{1}$ und der Nenner als Stammbruch $\frac{1}{N}$ geschrieben werden. Es gilt also:
\begin{align}
\frac{Z}{N} &= \frac{Z}{1} \cdot \frac{1}{N}
\end{align}
Betrachtet man den Nenner auch als Scheinbruch $\frac{N}{1}$, kann man schreiben:
$$
\frac{Z}{N} = \frac{\frac{Z}{1}}{\frac{N}{1}}
$$
Man erhält also einen Bruch aus Brüchen (den sogenannten Doppelbruch). Aus der Gleichheit der beiden Gleichungen folgt der Merksatz:
Man dividiert durch einen Bruch, indem man mit seinem Kehrwert multipliziert.
Beispiel:
$$
\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{15} \left( = \frac{2}{5} \right)
$$
| Erweitern / Kürzen | $$ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{m}{n}$$ |
| wobei gilt: $m = a \cdot c $ und $ n = b \cdot c$ | |
| Addition / Subtraktion | $$ \frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} \pm \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$ |
| Multiplikation | $$ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$ |
| Division | $$ \frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$ |
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