Lösung zu Aufgabe 2 (Extremwertaufgaben)


Aus einem 120cm langen Draht soll das Kantenmodell eines Quaders hergestellt werden, bei dem eine Kante dreimal so lang wie eine andere und der Rauminhalt möglichst groß ist. Bestimmen Sie das maximale Volumen.


Die Größe, um die es geht, ist das Volumen des Quaders. Dieses soll maximal werden. Für die Kanten des Quaders ist bekannt, dass eine Kante die Länge $a$ hat, eine andere die Länge $3a$ und die dritte Kante die Länge $b$. Damit ergibt sich für das Volumen $$ V = a \cdot 3a \cdot b \\ V = 3a^2 \cdot b $$ Die Zielfunktion hängt von zwei Variablen ab. Daher wird noch eine Nebenbedingung benötigt. Die erhält man aus der noch verfügbaren Information, dass die Summe aller Kanten 120 cm beträgt. Es gilt also: $$ 4 \cdot a + 4 \cdot 3a + 4 \cdot b = 120 \\ 16a + 4b = 120 \\ b = 30 - 4a $$ Die Nebenbedingung wird in die Zielfunktion eingesetzt: \begin{align} V &= 3a^2 \cdot \left( 30 - 4a \right) \\ \\ V &= 90a^2 - 12a^3 \\ \\ V' &= 180a - 36 a^2 \qquad \qquad V' = 0 \\ \\ 180a - 36a^2 &= 0 \\ a \left( 180 - 36a \right) &= 0 \\ a = 0 \qquad &\lor \qquad 180 - 36a = 0 \\ a = 0 \qquad &\lor \qquad a = 5 \\ \\ V'' &= 180 - 72a \\ V''(0) = 180 > 0 \qquad &\rightarrow \qquad a = 0 \text{ führt zu einem Minimum} \\ V''(5) = -180 < 0 \qquad &\rightarrow \qquad a = 5 \text{ führt zu einem Maximum} \end{align} Mit $b = 30 - 4a$ folgt: $b = 10$. Damit lässt sich das Volumen bestimmen: $$ V = 3 \cdot 5^2 \cdot 10 \\ V = 750 \text{ cm}^3 $$



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