Lösung zu Aufgabe 3 (Extremwertaufgaben)

Einem gleichschenkligen Dreieck mit der Grundseite

$c = 12 \text{ cm}$ und der Schenkellänge

$a = b = 18 \text{ cm}$ ist ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt einzubeschreiben. Berechnen Sie die Seitenlängen des Rechtecks.

Für dieses Problem lohnt sich eine Skizze.

Für die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks gilt der Satz des Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2 \\ 6^2 + h^2 = 18^2 \\ h = \sqrt{18^2 - 6^2} \\ h = 16,97$ Zunächst wird nur die eine Hälfte des Rechtecks bestimmt. Für die Fläche dieses Rechtecks gilt: $A_r = \left( h - x \right) \cdot \left( 6 - y \right)$ . Der gesamte Flächeninhalt ist dann $A = 2 \cdot \left( h - x \right) \cdot \left( 6 - y \right)$ und soll maximal werden.
Die Zielfunktion ist allerdings abhängig von den zwei Variablen $x$ und $y$ . Eine mögliche Nebenbedingung ergibt sich aus der Ähnlichkeit von Dreiecken. Es gilt nämlich: $\frac{6}{h} = \frac{y}{h-x}$ . Umgeformt nach $y$ erhält man: $y = \left( h-x \right) \cdot \frac{6}{h}$ Damit wird die Zielfunktion zu $\begin{align} A &= 2 \cdot \left( h - x \right) \cdot \left( 6 - \left( h-x \right) \cdot \frac{6}{h} \right) \\ \\ A &= 2 \cdot \left( h - x \right) \cdot \left( 6 - 6 + \frac{6x}{h} \right) \\ \\ A &= 2 \cdot \left( h - x \right) \cdot \frac{6x}{h} \\ \\ A &= 2 \cdot \left( 6x - \frac{6x^2}{h} \right) \\ \\ A &= 12x - \frac{12x^2}{h} \\ \\ A' &= 12 - \frac{24x}{h} \qquad \qquad A' = 0 \\ 12 - \frac{24x}{h} &= 0 \\ x &= \frac{h}{2} \\ \\ A'' &= -\frac{24}{h} < 0 \qquad \rightarrow \qquad x \text{ ist ein Maximum} \end{align}$ Damit entspricht die Höhe des Rechtecks der halben Höhe des Dreiecks, also $b = h-x = 8,485 \text{ cm}$ . Mit bekanntem $x$ kann $y$ bestimmt werden: $y = 3$ . Die Breite des Rechtecks entspricht also auch die Hälfte der Beite des Dreiecks: $a = 12 - 2y = 6 \text{ cm}$ .

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