Lösung zu Aufgabe 14 (Bewegungen)


Von Berlin fährt ein ICE mit 160 km/h ins 375 km entfernte Nürnberg. Ihm entgegen kommt ein gleichzeitig gestarteter Güterzug aus Nürnberg mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h.

Berechnen Sie den Ort und die Zeit, an denen die Züge aneinander vorbei fahren.


Wenn für beide Züge gilt, dass $s$ die Entfernung von Berlin darstellt und damit die Richtung von Berlin nach Nürnberg die positive Richtung ist, folgt für den ICE die Bewegungsgleichung $s = 160 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \cdot t$ und für den Güterzug die Gleichung $s = - 90 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \cdot t + 375 \text{ km}$. Setzt man beide Gleichungen gleich, bekommt man den Zeitpunkt der Vorbeifahrt in Stunden nach Fahrtbeginn. \begin{align} 160 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \cdot t &= - 90 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \cdot t + 375 \text{ km} \\ \\ \left( 160 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} + 90 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \right) \cdot t &= 375 \text{ km} \\ \\ t &= \frac{375 \text{ km}}{\left( 160 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} + 90 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \right)} \\ \\ t &= 1,5 \text{ h} \end{align} Das heißt, jeder Zug fährt 1,5 h bis zu dem Ort, an dem sie aneinander vorbei fahren. Der ICE legt in dieser Zeit eine Strecke von \begin{align} s &= v \cdot t \\ \\ s &= 160 \frac{\text{ km}}{\text{ h}} \cdot 1,5 \text{ h} \\ \\ s &= 240 \text{ km} \end{align} zurück. Der Ort ist also 240 km von Berlin entfernt, bzw. 135 km von Nürnberg.


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