Lösung zu Aufgabe 5 (Bewegungen)

Der Eiffelturm in Paris ist insgesamt 324,8 m hoch. In den Höhen von $h_1 = 57,6 \;\text{m}$, $h_2 = 115,7 \;\text{m}$ und $h_3 = 276,1 \;\text{m}$ befinden sich Aussichtsplattformen.
a) Berechne die Zeit, in der ein Objekt von der obersten Aussichtsplattform bis auf den Boden fällt.
b) Angenommen, von der untersten Plattform wird ein Ball nach unten fallen gelassen: Mit welcher Abwurfgeschwindigkeit müsste von der obersten Plattform ein gleicher Ball gleichzeitig nach unten geworfen werden, damit beide gleichzeitig auf dem Boden ankommen?

Für den freien Fall gilt: $s = \frac{1}{2} a \cdot t^2$ mit $a = g = 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}$ und $s = h_3$. Gesucht ist hier die Zeit, also: \begin{align} s &= \frac{1}{2} a \cdot t^2 \\ h_3 &= \frac{1}{2} g \cdot t^2 \\ t &= \sqrt{\frac{2 \cdot h_3}{g}} \\ t&= \sqrt{\frac{2 \cdot 276,1 \; \text{m}}{9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \\ t&= 7,50 \; \text{s} \end{align}

Für den Fall von der untersten Plattform folgt analog: $$ t = \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{g}} $$ Der Wurf von der obersten Plattform kann so beschrieben werden: $$ s=h_3= \frac{1}{2} g \cdot t^2 + v_0 \cdot t $$ Umgestellt nach der gesuchten Abwurfgeschwindigkeit erhält man: \begin{align} v_0 &= \frac{h_3}{t} - \frac{1}{2} g \cdot t \qquad \qquad \qquad \text{mit} \; t = \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{g}} \\ v_0 &= \frac{h_3}{\sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{g}}} - \frac{1}{2} g \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot h_1}{g}} \\ v_0 &= \frac{276,1 \; \text{m}}{\sqrt{\frac{2 \cdot 57,6 \; \text{m}}{9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}}} - \frac{1}{2} \cdot 9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \cdot \sqrt{\frac{2 \cdot 57,6 \; \text{m}}{9,81 \; \frac{\text{m}}{\text{s}^2}}} \\ v_0 &= 63,76 \; \frac{\text{m}}{\text{s}} \\ v_0 &\approx 230 \; \frac{\text{km}}{\text{h}} \end{align}

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