Lösung zu Aufgabe 7 (Bewegungen)
Ein PKW mit der Länge $l_{PKW} = 4 \;\text{m}$ fährt mit konstanten $130 \;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ auf der rechten Spur einer
Autobahn. Vor dem PKW fährt ein 10 m langer LKW, der mit $100 \;\frac{\text{km}}{\text{h}}$ unterwegs ist.
100 m hinter dem LKW setzt der PKW zum Überholen an. Gleichzeitig passiert der Wagen die 1000 m-Ankündigung einer Ausfahrt, die er nutzen muss.
Kann der PKW die Ausfahrt nutzen, wenn er 2 s nach dem Überholen wieder auf die rechte Spur wechselt?
Zunächst eine Skizze:
Alle Geschwindigkeiten sind konstant, d.h. es handelt sich um eine gleichförmige Bewegung. Weiterhin gilt, dass für den Überholvorgang
die Geschwindigkeitsdifferenz $\Delta v$ zwischen PKW und LKW maßgeblich ist. Es gilt:
$$\Delta v = 130 \;\frac{\text{km}}{\text{h}} - 100 \;\frac{\text{km}}{\text{h}} = 30 \;\frac{\text{km}}{\text{h}} = 8,33 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}$$
Der PKW legt insgesamt die Strecke $s$ zurück. Aus der Skizze erhält man:
$$s = 100 \;\text{m} + 10 \;\text{m} + s(2 \;\text{s})$$
\begin{align}
s(2 \;\text{s}) &= \Delta v \cdot t \\
s(2 \;\text{s}) &= 8,33 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 2 \;\text{s} \\
s(2 \;\text{s}) &= 16,66 \;\text{m}
\end{align}
Der PKW legt also beim Überholen $126,66 \;\text{m}$ mehr als der LKW zurück. Der gesamte Überholvorgang dauert
$$ t= \frac{s}{v}= \frac{126,66 \;\text{m}}{8,33 \;\frac{\text{m}}{\text{s}}} = 15,2 \;\text{s}$$
Der PKW fährt mit
seiner Geschwindigkeit in $15,2 \;\text{s}$ eine Strecke von $s_{PKW}$ zurück.
$$ s_{PKW}= 130 \;\frac{\text{km}}{\text{h}} \cdot 15,2 \;\text{s} = 36,11 \;\frac{\text{m}}{\text{s}} \cdot 15,2 \;\text{s} = 548,87 \;\text{m}$$
Während des gesamten Überholvorgangs legt der PKW eine Strecke von ca. 550 m zurück. Damit kann er 450 m vor der Ausfahrt wieder auf die rechte Spur
wechseln und ausfahren.
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