Primfaktorzerlegung

Jede ganze Zahl lässt sich als Produkt ihrer Primfaktoren darstellen. Beispielsweise lässt sich die Zahl $6$ auch als $2 \cdot 3$ schreiben. Die Faktoren $2$ und $3$ sind beides Primzahlen.

Um eine beliebige ganze Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, geht man nacheinander die Primzahlen durch und überlegt zunächst, ob die Zahl durch die erste Primzahl (2) teilbar ist. Wenn ja, dann teilt man sie durch die Primzahl und macht mit dem erhaltenen Quotienten bei der nächsten Primzahl (3) weiter. Das geht so lange, bis der Quotient selbst eine Primzahl ist. Wenn nein, nimmt man die nächste Primzahl (3).

Beispiele

1. Was sind die Primfaktoren von $14$?

1. Ist $14$ durch $2$ teilbar? Ja, denn die letzte Ziffer $\left( 4 \right)$ ist durch $2$ teilbar.
2. $\frac{14}{2} = 7$
3. $7$ ist selbst eine Primzahl.
4. $14 = 2 \cdot 7$

$2$ und $7$ sind die Primfaktoren von $14$.

2. Was sind die Primfaktoren von $27$?

1. Ist $27$ durch $2$ teilbar? Nein, denn die letzte Ziffer ($7$) ist nicht durch $2$ teilbar.
2. Ist $27$ durch $3$ teilbar? Ja, denn die Quersumme $\left( 2 + 7 = 9 \right)$ ist durch $3$ teilbar.
3. $\frac{27}{3} = 9$
4. $9$ ist auch durch $3$ teilbar.
5. $\frac{9}{3} = 3$
6. $3$ ist eine Primzahl.
7. $27 = 3 \cdot 3 \cdot 3$

$3$ ist der einzige Primfaktor von $27$.

3. Was sind die Primfaktoren von $268$?

1. Ist $268$ durch $2$ teilbar? Ja, denn die letzte Ziffer $ \left( 8 \right)$ ist durch $2$ teilbar.
2. $\frac{268}{2} = 134$
3. Ist $134$ durch $2$ teilbar? Ja, denn die letzte Ziffer $\left( 4 \right)$ ist durch $2$ teilbar.
4. $\frac{134}{2} = 67$
5. $67$ ist eine Primzahl.
6. $268 = 2 \cdot 2 \cdot 67$

$2$ und $67$ sind die Primfaktoren von $268$.

4. Was sind die Primfaktoren von $210$?

1. Ist $210$ durch $2$ teilbar? Ja, denn die letzte Ziffer $ \left( 0 \right)$ ist durch $2$ teilbar.
2. $\frac{210}{2} = 105$
3. Ist $105$ durch $2$ teilbar? Nein.
4. Ist $105$ durch $3$ teilbar? Ja, denn die Quersumme $1 + 0 + 5 = 6$ ist durch $3$ teilbar.
5. $\frac{105}{3} = 35$
6. Ist $35$ durch $3$ teilbar? Nein.
7. Ist $35$ durch $5$ teilbar? Ja, denn die letzte Ziffer ist $5$.
8. $\frac{35}{5} = 7$
9. $7$ ist eine Primzahl.
6. $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

$2$, $3$, $5$ und $7$ sind die Primfaktoren von $210$.

Für die Ermittlung der Primfaktoren ist es sicherlich sinnvoll, einige Primzahlen zu kennen. Eine Liste mit den ersten Primzahlen gibt es in der Übersicht rechts und hier.
In allen Fällen hilft die schriftliche Division oder der Taschenrechner (natürlich nur in sehr schwierigen Situationen ;)).