Eine quadratische Funktion ist eine ganzrationale Funktion zweiten Grades. Allgemein beinhaltet eine quadratische Funktion Terme mit den Exponenten 2, 1 und 0. Die Funktionsgleichung sieht so aus: $$ f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c $$ Die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ definieren die Eigenschaften des Graphen der Funktion.
Jede quadratische Funktion besitzt einen Scheitelpunkt, der entweder den tiefsten oder den höchsten Punkt des Graphen kennzeichnet. In der sogenannten Scheitelpunktform kann der Scheitelpunkt direkt aus der Funktionsgleichung abgelesen werden. Desweiteren kann aus der Scheitelpunktform die pq-Formel abgeleitet werden, die dazu genutzt werden kann, die Nullstellen einer beliebigen quadratischen Funktion zu bestimmen.
\begin{align}
f(x) &= a x^2 + bx + c \\
f(x) &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right)
\end{align}
Der Koeffizient $a$ wird ausgeklammert. Im folgenden wird nur noch der Term in der Klammer betrachtet.
Der Koeffizient $\frac{b}{a}$ wird durch Zwei geteilt $\left( \frac{b}{2a} \right)$ und quadriert $\left( \left(\frac{b}{2a}\right)^2 \right)$.
Der so entstandene Ausdruck wird nun einmal addiert und einmal subtrahiert (quadratische Ergänzung).
\begin{align}
f(x) &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \right) \\
f(x) &= a \left( x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right)
\end{align}
Die Addition des Terms ist wichtig, weil man jetzt die binomische Formel (die erste oder die zweite, je nach Vorzeichen von $a$ und $b$) anwenden kann,
die Subtraktion muss gemacht werden, weil die Funktion insgesamt natürlich nicht verändert werden darf.
Die binomische Formel isoliert angewendet: $$ x^2 + \frac{b}{a} x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 $$ Somit folgt: \begin{align} f(x) &= a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a} \right) \\ \\ f(x) &= a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \end{align} Hier wurde noch der konstante Term am Ende zusammengefasst. Jetzt wird noch die äußere Klammer aufgelöst: \begin{align} f(x) &= a \left( \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \right) \\ \\ f(x) &= a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \end{align} Der Scheitelpunkt hat damit die Koordinaten $$ S \left( - \frac{b}{2a} | - \frac{b^2 - 4ac}{4a} \right) $$ Die Scheitelpunktform ist allgemein: $$ \boldsymbol{f(x)= a \left( x - x_S \right)^2 + y_S} $$ mit dem Scheitelpunkt $$S \left( x_S | y_S \right)$$
Mit der pq-Formel kann man bei Kenntnis der Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ die Nullstellen der Funktion bestimmen. Ausgehend von der Scheitelpunktform in der Schreibweise mit den Koeffizienten $$ f(x) = a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} $$ folgt mit der Bedingung, dass der Funktionswert gleich Null sein muss $\left( f(x) = 0 \right)$: \begin{align} a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{b^2 - 4ac}{4a} &= 0 \\ \\ a \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a} \\ \\ \left( x + \frac{b}{2a} \right)^2 &= \frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \\ \\ x + \frac{b}{2a} &= \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \\ \\ x &= - \frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2 - 4ac}{4a^2}} \end{align} Mit $\frac{b}{a} = p$ und $\frac{c}{a} = q$ folgt die pq-Formel: $$ \boldsymbol{x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}} $$
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