Lösung zu Aufgabe 2 (Schwingungen)

Eine beliebige Federschwingung wird durch $s(t) = 2 \text{ cm} \cdot sin ( \pi \text{ s}^{-1} t - \frac{\pi}{2})$ beschrieben.
a) Berechnen Sie die Auslenkung nach 0,7 s. Zu welchem Zeitpunkt ist die Auslenkung wieder so groß?
b) Bestimmen Sie Geschwindigkeit und Beschleunigung nach 0,7 s.
c) Geben Sie den Zeitpunkt an, zu dem die Geschwindigkeit 4 cm/s beträgt.

Mit der gegebenen Schwingungsgleichung folgt: $\begin{align} s(t=0,7 \text{s}) &= 2 \text{ cm} \cdot sin ( \pi \text{ s}^{-1} \cdot 0,7 \text{ s} - \frac{\pi}{2}) \\ s(t=0,7 \text{s}) &= 1,18 \text{ cm} \end{align}$ Die Phasenverschiebung von $- \frac{\pi}{2}$ bedeutet, dass die Schwingung mit der negativen Amplitude beginnt. Mit der Periodendauer von 2 s folgt, dass nach einer Sekunde die positive Amplitude erreicht wird. Damit folgt schließlich, dass nach 1,3 s die gleiche Auslenkung erreicht wird, wie nach 0,7 s.

Es gelten die folgenden Zusammenhänge: $\begin{align} v(t) &= \omega \hat{s} \cdot cos( \omega t + \varphi_0) \\ a(t) &= - \omega^2 \hat{s} \cdot sin ( \omega t + \varphi_0) \\ \\ v(t=0,7 \text{s}) &= \pi \text{ s}^{-1} \cdot 2 \text{ cm} \cdot cos(\pi \text{ s}^{-1} \cdot 0,7 \text{ s} - \frac{\pi}{2}) \\ a(t=0,7 \text{s}) &= - \pi^2 \text{ s}^{-2} \cdot 2 \text{ cm} \cdot sin(\pi \text{ s}^{-1} \cdot 0,7 \text{ s} - \frac{\pi}{2}) \\ v(t=0,7 \text{s}) &= 5,08 \, \frac{\text{cm}}{\text{s}} \\ a(t=0,7 \text{s}) &= - 11,60 \, \frac{\text{cm}}{\text{s}^2} \end{align}$

Es soll $v(t) = 4 \, \frac{cm}{s}$ sein, also: $\begin{align} 4 \, \frac{cm}{s} &= \pi \text{ s}^{-1} \cdot 2 \text{ cm} \cdot cos(\pi \text{ s}^{-1} \cdot t - \frac{\pi}{2}) \\ 0,637 &= cos(\pi \text{ s}^{-1} \cdot t - \frac{\pi}{2}) \\ arccos(0,637) &= \pi \text{ s}^{-1} \cdot t - \frac{\pi}{2} \\ arccos(0,637) + \frac{\pi}{2} &= \pi \text{ s}^{-1} \cdot t \\ \frac{arccos(0,637) + \frac{\pi}{2}}{\pi \text{ s}^{-1}} &= t \\ t &= 0,780 \text{ s} \end{align}$

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