Ganzrationale Funktionen


Aufgaben im Sachzusammenhang


Zunächst als Vorbemerkung:
Für die Bearbeitung der folgenden Aufgaben ist es notwendig, dass der Begriff der Ableitung von ganzrationalen Funktionen bekannt ist. Die Potenzregel, die Faktorregel und die Konstantenregel, sowie die Summenregel sollten ohne Schwierigkeiten angewendet werden können.

Für viele Phänomene aus Natur und Technik werden Funktionen genutzt, um das Verhalten von bestimmten Größen zu beschreiben. Wichtiger noch: mit dem Begriff der Änderungsrate und damit der Ableitung wird die Veränderung bestimmter Größen beschrieben. Aus diesem Grund werden viele Aufgaben in einem Sachzusammenhang gestellt, da die Formulierungen und Aufgabenstellungen in der Realität nicht lauten: „Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion".

Somit ist es erforderlich, den Aufgabentext genau und vollständig zu lesen, damit man erkennt, was für die Bearbeitung einer jeden Aufgabenstellung eigentlich notwendig ist. Denn die Werkzeuge, d.h. Ableitungen bilden, Nullstellen bestimmen, ..., sind natürlich dieselben, wie bei „Bestimmen Sie den Wendepunkt der Funktion".


Aufgabe 1


Ein Schnellrestaurant öffnet von 10:00 Uhr bis 21:30 Uhr. Es werden die Besucherzahlen über einen längeren Zeitraum notiert. Aus den Daten ergibt sich ein Funktionsterm $f$, der die Besucherzahlen in Abhängigkeit von der Tageszeit beschreibt. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet: $$ f(x) = -0,04 x^3 + 0,5 x^2 + 15 x - 160 $$ Der zu der Gleichung gehörende Graph ist in der Abbildung zu sehen.


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Aufgabe 2


Um den Ertrag einer angebauten Weizensorte zu steigern, wird dem Weizen Dünger hinzugefügt. Wird zuviel gedüngt, nimmt der Ertrag wieder ab. Die Abbildung zeigt den funktionalen Zusammenhang zwischen Ertrag und Düngermenge. Dem Graphen liegt die folgende Funktionsgleichung zugrunde: $$ f(x) = -100 x^3 + 15 x^2 + 15 x + 5 $$ Dabei ist $x$ die Düngermenge in Tonnen pro Hektar und $f(x)$ der Ertrag in Tonnen pro Hektar.
Der Graph wird bereits im für den Sachzusammenhang relevanten Bereich angezeigt.


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Aufgabe 3

Die durch ein elektrisches Bauteil fließende Ladung $Q$ (in der Einheit Coulomb; [Q} = 1 C) wird durch die Funktion $Q$ mit der Gleichung $$ Q(t) = -0,1 t^3 + 1,1 t^2 - 3 t + 3 $$ beschrieben. Die momentane Änderungsrate $Q'(t)$ entspricht der elektrischen Stromstärke $I(t)$. Die Zeit $t$ wird in Sekunden angegeben.


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